Презентации по Математике

Классическое определение вероятности Определение: Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных этому событию случаев к общему числу всех случаев Задача о шарах В урне 5 синих и 7 красных шаров. Изымают 1 шар. Какова вероятность вынуть А) синий шар, Б) красный шар, С) белый шар, Д) синий или красный шар, Е) синий или белый шар, Ж) синий и красный шар? Р(А)=5/12 Р(А)=7/12 Р(А)=0 Р(А)=1 Р(А)=5/12 Р(А)=0

Теоремы сложения и умножения для двух событий 1) P(A + B) = P(A) + P(B) (A,B - несовместны) 2) 3) P(AB) = P(A)∙ P(B), (A,B- независимы) 4) P(AB) = P(A)∙ P(B ׀ A) История о находчивом майоре В городе объявлен розыск четверых особо опасных преступников, ограбивших банк. Чтобы предотвратить утечку информации при передаче в Центр сообщений о ходе розыска, майор Зимин придумал такой способ. Он зашифровал первыми буквами алфавита следующие события: Событие Р- обнаружен преступник Рыков; Событие У - обнаружен преступник Угрюмов; Событие Ф - обнаружен преступник Фомкин; Событие Т - обнаружен преступник Тимошкин. Вскоре в центр пришли следующие сообщения: 1) У+Ф, 2)УТ, 3) ,4) 5)УТ(Ф+Р), 6)УТФ ,7)УТФР

Список литературы Е. С. Вентцель, Л.А. Овчаров, Теория вероятностей и ее инженерные приложения. – М: Высшая школа, 2000г. Е. С. Вентцель, Л.А. Овчаров, Задачи и упражнения по теории вероятностей. М: Высшая школа, 2000г. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие — 12-е изд., перераб.- М.: Высшее образование, 2006. Г.В. Горелова, И.А. Кацко, Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением EXCEL.- Ростов-на-Дону.: Феникс, 2001. Ю. Е. Шишмарев, Дискретная математика. Конспект лекций, Ч.2. ВГУЭС, 2002г. Исторические сведения Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и связывают с первыми попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей. Решением тех же задач занимался и Христиан Гюйгенс. Его работа, в которой вводятся основные понятия теории вероятностей (понятие вероятности как величины шанса; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса), а также используются теоремы сложения и умножения вероятностей (не сформулированные явно), вышла в печатном виде на двадцать лет раньше (1657 год) издания писем Паскаля и Ферма (1679 год). Важный вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли (доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний). В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений. Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышев, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова. Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Под опытом (экспериментом, испытанием) мы будем понимать некоторую совокупность условий, при которых наблюдается то или иное явление. Опыт может протекать независимо от человека, который может выступать в роли наблюдателя. Опыт со случайным исходом – это опыт, результат которого изменяется при его повторении. Случайным событием называется всякий факт, которой в опыте со случайным исходом может произойти или не произойти. События обозначают большими буквами латинского алфавита. Примеры 1)Опыт: бросание монеты. Событие: появление числа. 2) Опыт: стрельба по мишени. Событие: попадание в десятку. 3) Опыт: изъятие карты из колоды. Событие: появление короля. 4) Опыт: измерение температуры у больных. Событие: температура равна 39°С хотя бы у одного больного.

Терминология Ω – множество всех возможных исходов опыта. ω – элементарное событие (неразложимый исход опыта). Любое событие А есть некоторое подмножество Ω ( ). Ω – достоверное событие, Ø – невозможное событие. Пример Опыт – получение оценки на экзамене. , А= { ω:ω – положительная оценка}

Терминология Допустим, что об условиях опыта можно сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез): H1,H2,…,Hn, где Hi Hj = Ø, i ≠ j Hi – несовместные, образующие полную группу события. Формула полной вероятности Заданы условные вероятности события А, при каждой из гипотез P(A׀H1),…,P(A׀Hn). Событие А может появиться только вместе с одной из гипотез. Найдем вероятность события А. A= H1A +H2A + …+ HnA , HiA – несовместные события, значит , P(HiA) = P(Hi)∙P(A׀Hi) Отсюда – формула полной вероятности

Постановка задачи Проводятся n испытаний, в каждом из которых может произойти определенное событие («успех») с вероятностью p (или не произойти — «неудача» — q = 1 − p). Найти вероятность того, что в n независимых испытаниях успех наступит ровно k раз. Я́коб Берну́лли (27 декабря 1654  — 16 августа 1705)  швейцарский математик;

Локальная формула Муавра-Лапласа Если , то где Свойства функции Четная . При

1.Анализ вариационных рядов Цель: дать основные понятия анализа вариационных рядов, рассмотреть примеры обработки статистических данных Анализ вариационных рядов. Основные понятия и определения Генеральная совокупность – множество всех значений, характеризующих изучаемый признак. Выборка – часть генеральной совокупности. Ранжирование опытных данных – операция, заключенная в расположении значений признака по неубыванию. После операции ранжирования опытные данные можно сгруппировать так, чтобы в каждой группе признак принимал одно и то же значение (вариант)

Сочетания Определение 1 Сочетанием из n элементов по k называется всякая совокупность попарно различных k элементов, выбранных каким-либо способом из данных n элементов. Другими словами k-сочетание – это k-элементное подмножество n элементного множества. Пример. Дано множество . Составим 2- сочетания: Сочетания Теорема 1 Число k- сочетаний n-элементного множества вычисляется по формуле Доказательство. Из каждого k-сочетания, переставляя его элементы всевозможными способами, получим k! размещений. Значит, Отсюда

Резидентное и транзитное время транзактов Интервал времени, в течении которого транзакт находится в модели, называется резидентным временем транзакта. Интервал времени, в течении которого транзакт переходит от одной произвольно выбранной точки модели до другой точки, называется транзитным временем перехода между двумя этими точками. Резидентное время Текущее значение таймера абсолютного времени Значение времени входа транзакта в модель М1 = В явном виде это значение недоступно, оно фиксируется при входе транзакта в модель М1 - время пребывания в модели транзакта, обрабатываемого программой в данный момент (резидентное время транзакта).

Определение 1 Множество А называется подмножеством В, если для любого х ( ) Обозначение: Другими словами, символ " " есть сокращение для высказывания Теорема 2 Для любых множеств А, В, С верно следующее: а) ; б) и . Доказательство Для доказательства а) надо убедиться в истинности высказывания , но оно очевидным образом истинно, так как представляет собой импликацию, в которой посылка и заключение совпадают. Для доказательства б) надо убедится в истинности высказывания Обозначим: " " через U, " " через V , " " через . Тогда надо убедиться в истинности высказывания . Упростим это высказывание:

1. Основные понятия. Логические операции Под высказыванием мы понимаем предложение русского языка, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. Высказывания мы будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита, возможно с индексами: Если высказывание А истинно, мы будем писать А=1; если высказывание А ложно, мы будем писать А=0. Примеры 1. А=«два умножить на два равно семи» 2. В=«два плюс два равно 4» 3. С=«если сентябрь – весенний месяц, то 5*5=25» 4.D=«число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3» 5.E=«если после четверга следует пятница, то в году 13 месяцев» A=0 B=1 C=? D=1 E=? Операции над высказываниями. Отрицание Определение 1 Высказывание "неверно, что А" называется отрицанием А и обозначается Задается действие отрицания с помощью таблицы истинности:  

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел . Если матрица содержит строк и столбцов, то говорят, что матрица имеет размерность . - порядок матрицы

Теорема 1 Если (a; b)=(x; y), то a=x, b=y. Доказательство Из (a; b)=(x; y) следует {{a};{a; b}}={{x};{x; y}}. Равенство двух двухэлементных множеств возможно лишь при равенстве составляющих их элементов. Здесь возможны два случая: 1) {a}={x}, {a; b}={x; y} или 2) {a}={x, y}, {a; b}={x}. В первом случае из равенства {a}={x} следует а=х, а из второго равенства и того, что а=х, следует у=в, что и требовалось доказать. Во втором случае из равенства {a}={x, y} следует а=х=у, а из равенства {a; b}={x} следует х=а=в. В частности, а=х и в=у. Теорема доказана. Определение 2 1) (a; b)={{a};{a; b}}; 2) (a1,a2,...,an,an+1)=((a1,a2,...,an),an+1). Упорядоченные наборы длины n называются также упорядоченными n-ками, векторами, кортежами. Теорема 2 . Доказательство Индукция по n. При n=2 это есть теорема 1. Допустим, утверждение верно при n=k, то есть допустим, что из равенства следует .

2. Определение высказывания. Таблица истинности для высказываний Определение 1 Переменная А, принимающая два значения – 0 или 1, называется логической (или булевой) переменной. Обозначаться логические переменные будут заглавными латинскими буквами с индексами или без них: Порядок действий 1)Однотипные операции выполняются в порядке их следования. Например, 2) Отрицание подразумевает скобки. 3) Конъюнкция связывает сильнее, чем дизъюнкция. Например, 4) Дизъюнкция связывает сильнее, чем импликация. Например, 5) Импликация связывает сильнее, чем эквивалентность. Например,

Здесь - неизвестные; - коэффициенты при неизвестных, где - номер уравнения, - номер неизвестного; - свободные члены (правые части).

б) при n=2 Р называется двухместным предикатом или бинарным предикатом или просто отношением; в) если , то Р называется отношением между элементами множества А. Примеры 1) Пусть . Свойство определяется условием:  – четное число, тогда Р={...;-4;-2;0;2;4;...}. 2) , , определяется условием: – иррациональное число. Тогда , 3)  – множество всех людей, определим так: – мужчина а  – множество треугольников на плоскости,   – равносторонний треугольник Определение 3 Пусть  – бинарный предикат. Тогда предикат называется обратным к Р, если для любых и Обозначим через следующий бинарный предикат: IА называется диагональным отношением или отношением равенства или просто равенством на множестве А. Очевидно, что .

Определение 1 Конъюнкция логических переменных или их отрицаний называется элементарной конъюнкцией. Пример Определение 2 Высказывание называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ), если оно представляет собою дизъюнкцию элементарных конъюнкций. Общий вид ДНФ: 3. Дизъюнктивные нормальные формы (ДНФ) Примеры

Если конечное множество A состоит из m элементов, то мы будем писать: |A| = m или n(A) = m. Теорема 1 (принцип сложения). Пусть A B = . Тогда n(A B) = n(A) + n(B). Следствие 2. Пусть A1, A2….Al – система попарно непересекающихся конечных множеств. Тогда n(A1 A2 … Al) = n(A1)+n(A2)+…+n(Al). Доказательство: При l=2 ссылаемся на теорему 1: n(A1 A2) = n(A1) + n(A2). Допустим, что утверждение верно при l = k, n(A1 A2 … Ak ) = n(A1 ) + n(A2 ) +…+ n(Ak ). Докажем утверждение при l = k+1. В этом случае n(A1 A2 … Ak Ak+1) = n((A1 A2 … Ak) Ak+1) = n(A1 A2 … Ak) + n(Ak+1). Здесь мы воспользовались базисом индукции и, применяя индуктивное предположение, получим: n(A1 A2 … Ak) + n(Ak+1) = n(A1) +…+ n(Ak) + n(Ak+1). Следствие доказано.

Введение в теорию множеств 1. Основные определения, терминология Под множеством А мы понимаем совокупность объектов произвольной природы, объединенных общим свойством Р(х). Обозначение Указанием определяющего свойства Перечислением элементов Пример 1 Иногда второе обозначение распространяется и на некоторые бесконечные множества. Так, N={1,2,3,...,n,...} Z={...,-n,...,-2,-1,0,1,2,...,n,...}. Определение 1 Множество А называется подмножеством В, если для любого х ( ) Обозначение: Другими словами, символ " " есть сокращение для высказывания Теорема 1 Для любых множеств А, В, С верно следующее: а) ; б) и .

Прямая на плоскости Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору

Доказательство. Возьмем элемент а А. В число, стоящее слева, этот элемент «вносит» единицу. Подсчитаем, какое число соответствует элементу в правой части доказываемого равенства. Если мы докажем, что оно также равно 1, то теорема будет доказана. Пусть a входит в k множеств Тогда в первое слагаемое элемент a «вносит» k единиц, во второе слагаемое элемент а «вносит» единиц, так как a входит во все пересечения такие, что и содержат a; число таких пересечений – число 2-х элементных подмножеств k-элементного множества, т.е. В l-ое слагаемое a «вносит» единиц (l k). Если l > k, то a в такие пересечения уже не входит, те есть «вносит» в эти суммы 0. Таким образом a «вносит» в правую сумму следующее количество единиц:

1. Вычисление множеств Дано U={1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11}, A={1;2;3;7;9}, B={3;4;5;6;10;11}, C={2;3;4;7;8}, D={1;7;11}. Вычислить множества 1) 2) 3) 4) 5) 2. Выражение множеств Пусть U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9}, A={1, 2, 3, 5}, B={2, 4, 6, 8}, C={1, 3, 5, 7}, D={4, 5, 7, 8}. Выразить через известные множества A, B, C, D следующие множества. {1,2,3,4,5,7,8}= {4,7,8}= {2,5,6,7}= {2,5}= {5,7,9}= {4,5}= Невозможно выразить через данные множества, так как элементы 4 и 8 одновременно принадлежат или не принадлежат данным множествам.