Презентации по Математике

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид Уравнение такого вида может определять: эллипс (в частности, окружность), гиперболу, параболу, пару прямых (параллельных, пересекающихся либо совпадающих), точку или не определять никакой линии.

Примеры. Числа 2, 3, 5, 7, 11 простые, числа 4, 6, 18, 100 составные. Отметим, что число 1 не является ни простым, ни составным. Существует стандартная система обозначений простых чисел: Р1 – первое по величине простое число (ясно, что Р1 = 2), Р2 – следующее простое число, (Р2 = 3), (Р3 = 5), (Р4 = 7), (Р5 = 11), (Р6 = 13), (Р7 = 17), (Р8 = 19) и т.д. Вообще Рn – n-ое простое число. К сожалению, не существует аналитической формулы f (n), которая позволила бы вычислять любое простое число Pn. Теорема 2. Простых чисел существует бесконечно много. Доказательство. Допустим, существует лишь конечное число простых чисел. Перечислим их: P1, Р2, …, РN. Значит, любое другое натуральное число содержит в качестве делителя по крайней мере одно из Рi (i = 1, 2, …, N). Рассмотрим число Р = Р1 Р2 … РN + 1. Очевидно, что это число не делится ни на одно из чисел

Комбинаторика Комбинаторика – раздел математики, посвященный подсчету количеств разных комбинаций элементов некоторого, обычно конечного, множества Комбинаторика возникла в XVI веке. Первоначально комбинаторные задачи касались в основном азартных игр. Одним из первых занялся подсчетом числа различных комбинаций при игре в кости итальянский математик Тарталья. Теоретическое исследование вопросов комбинаторики предприняли в XVII веке французские ученые Паскаль и Ферма. Дальнейшие развитие комбинаторики связано с именами Якова Бернулли, Лейбница и Эйлера. Принципы комбинаторики Принцип сложения Основные принципы комбинаторики: Принцип сложения. Принцип умножения. Принцип сложения Задача 1: В классе 7 девочек и 8 мальчиков. Сколькими способами можно выбрать 1 человека для работы у доски? Решение: Для работы у доски мы можем выбрать девочку 7 способами или мальчика 8 способами. Общее число способов равно 7+8=15. Задача 2: В классе 7 человек имеют «5» по математике, 9 человек – «5» по истории, 4 человека имеют «5» и по математике и по истории. Сколько человек имеют пятерку по математике или по истории? Решение: Так как 4 человека входят и в семерку отличников по математике и в девятку отличников по истории, то сложив «математиков» и «историков», мы дважды учтем этих четверых, поэтому вычтя их один раз из суммы, получим результат 7+9-4=12. Итак, 12 человек имеют пятерку по математике или по истории.

Общее уравнение прямой Прямая линия в пространстве определяется как линия пересечения двух плоскостей

Теорема 2. Отношение равномощности есть отношение эквивалентности. Доказательство. Необходимо проверить три условия: рефлексивность, симметричность, транзитивность. Рефлексивность выполняется, так как отображение IA: A A осуществляет биекцию множества А на себя, то есть . Симметричность. Пусть , то есть существует биекция , тогда существует отображение , которое также является биекцией, то есть

Размещения Определение 1 Размещением из n элементов по k называется всякая перестановка из k элементов, выбранных каким-либо способом из данных n. Пример Дано множество . Составим все 2-размещения этого множества. Число размещений Теорема 1 Число всех размещений из n элементов по k вычисляется по формуле Доказательство. Каждое размещение можно получить с помощью k действий: 1) выбор первого элемента n способами; 2) выбор второго элемента (n-1) способами; и т. д. k) выбор k –го элемента (n-(k-1))=(n-k+1) способами. По правилу умножения число всех размещений будет n(n-1)(n-2)…(n-k+1). Теорема доказана.

Цилиндрические поверхности Цилиндрической поверхностью называется поверхность, составленная из всех прямых, пересекающих данную линию L и параллельных данной прямой . Линия L при этом называется направляющей цилиндрической поверхности , а каждая из прямых, составляющих поверхность и параллельных прямой , ее образующей. Цилиндрические поверхности Если направляющая цилиндрической поверхности лежит в одной из координатных плоскостей , а образующие параллельны координатной оси, перпендикулярной этой плоскости, то уравнение такой поверхности совпадает с уравнением направляющей L, то есть содержит только две переменных.

Сочетания Определение 1 Сочетанием из n элементов по k называется всякая совокупность попарно различных k элементов, выбранных каким-либо способом из данных n элементов. Другими словами k-сочетание – это k-элементное подмножество n элементного множества. Пример. Дано множество . Составим 2- сочетания: Сочетания Теорема 1 Число k- сочетаний n-элементного множества вычисляется по формуле Доказательство. Из каждого k-сочетания, переставляя его элементы всевозможными способами, получим k! размещений. Значит, Отсюда

Полукубическая парабола Кривая Гаусса

«Математика – наука о порядке» А. Уайтхед. Обучение математике через задачи – идея далеко не новая. Еще Ньютон сказал: «Примеры поучают больше, чем теория». Нужно разумно чередовать задачи, осуществляющие различную степень познавательной самостоятельности. Работа учителя всегда была и остается творческой. «Три пути ведут к знаниям: путь размышления- это путь самый благородный, путь подражания – это путь самый легкий и путь опыта- это путь самый горький». Конфуций. УМК к учебнику Ш. А. Алимова, Ю. М. Колягина и др. Тип урока: учебный практикум. Оборудование: магнитная доска, раздаточные таблицы, раздаточный дифференцированный материал для обучения и развития учащихся. Цели урока: 1. Систематизировать, расширить и углубить знания, умения учащихся применять различные способы решения систем неравенств и их комбинаций. 2. Уметь решать системы линейных неравенств и неравенств, сводящихся к линейным, извлекать необходимую информацию из учебно – научных текстов. 3. Знать о способах решения систем неравенств. 4. Способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, сравнивать, делать выводы. 5. Владеть навыками самоанализа, самоконтроля, побуждать учащихся к взаимоконтролю, вызывать у них потребность в обосновании своих высказываний.

Тема «Решение систем неравенств» Цель В ходе изучения темы учащиеся должны знать,что множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений неравенств, входящих в эту систему 2) Научить решать системы, составленные из двух линейных неравенств. Повторение Математический диктант Изучение нового материала Закрепление Итог урока План урока

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Под опытом (экспериментом, испытанием) мы будем понимать некоторую совокупность условий, при которых наблюдается то или иное явление. Опыт может протекать независимо от человека, который может выступать в роли наблюдателя. Опыт со случайным исходом – это опыт, результат которого изменяется при его повторении. Случайным событием называется всякий факт, которой в опыте со случайным исходом может произойти или не произойти. События обозначают большими буквами латинского алфавита. Примеры 1)Опыт: бросание монеты. Событие: появление числа. 2) Опыт: стрельба по мишени. Событие: попадание в десятку. 3) Опыт: изъятие карты из колоды. Событие: появление короля. 4) Опыт: измерение температуры у больных. Событие: температура равна 39°С хотя бы у одного больного.

Комплексным числом называется число вида где x и y – вещественные числа. называется алгебраической формой записи комплексного числа.

Терминология Ω – множество всех возможных исходов опыта. ω – элементарное событие (неразложимый исход опыта). Любое событие А есть некоторое подмножество Ω ( ). Ω – достоверное событие, Ø – невозможное событие. Пример Опыт – получение оценки на экзамене. , А= { ω:ω – положительная оценка}

Классическое определение вероятности Определение: Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных этому событию случаев к общему числу всех случаев Задача о шарах В урне 5 синих и 7 красных шаров. Изымают 1 шар. Какова вероятность вынуть А) синий шар, Б) красный шар, С) белый шар, Д) синий или красный шар, Е) синий или белый шар, Ж) синий и красный шар? Р(А)=5/12 Р(А)=7/12 Р(А)=0 Р(А)=1 Р(А)=5/12 Р(А)=0

Теоремы сложения и умножения для двух событий 1) P(A + B) = P(A) + P(B) (A,B - несовместны) 2) 3) P(AB) = P(A)∙ P(B), (A,B- независимы) 4) P(AB) = P(A)∙ P(B ׀ A) История о находчивом майоре В городе объявлен розыск четверых особо опасных преступников, ограбивших банк. Чтобы предотвратить утечку информации при передаче в Центр сообщений о ходе розыска, майор Зимин придумал такой способ. Он зашифровал первыми буквами алфавита следующие события: Событие Р- обнаружен преступник Рыков; Событие У - обнаружен преступник Угрюмов; Событие Ф - обнаружен преступник Фомкин; Событие Т - обнаружен преступник Тимошкин. Вскоре в центр пришли следующие сообщения: 1) У+Ф, 2)УТ, 3) ,4) 5)УТ(Ф+Р), 6)УТФ ,7)УТФР

Терминология Допустим, что об условиях опыта можно сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез): H1,H2,…,Hn, где Hi Hj = Ø, i ≠ j Hi – несовместные, образующие полную группу события. Формула полной вероятности Заданы условные вероятности события А, при каждой из гипотез P(A׀H1),…,P(A׀Hn). Событие А может появиться только вместе с одной из гипотез. Найдем вероятность события А. A= H1A +H2A + …+ HnA , HiA – несовместные события, значит , P(HiA) = P(Hi)∙P(A׀Hi) Отсюда – формула полной вероятности

Формула полной вероятности Формула Бейеса P(Hi|A) = = Задачи 1.  В сборочный цех поступили детали с трех станков. На первом станке изготовлено 51% деталей от их общего количества, на втором станке 24% и на третьем 25%. При этом на первом станке было изготовлено 90% деталей первого сорта, на втором 80% и на третьем 70%. Используя формулу полной вероятности определить, какова вероятность того, что взятая наугад деталь окажется первого сорта ? Решение:    Пусть A - событие, состоящее в том, что взятая деталь окажется первого сорта, а H1, H2 и H3 - гипотезы, что она изготовлена соответственно на 1, 2 и 3 станке.    Вероятности этих гипотез соответственно равны:    далее, из условия задачи следует, что: Используя формулу полной вероятности, получим искомую вероятность

Опыты называются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого опыта не зависит от того, какие исходы имели другие опыты Независимые опыты могут производиться, как в одинаковых условиях, так и в различных. В первом случае вероятность появления какого-либо события А во всех опытах одна и та же, во втором случае она меняется от опыта к опыту. Формула Бернулли Теорема: Пусть производится n независимых опытов в одинаковых условиях, причем в каждом из них с вероятностью p появляется событие А. Тогда вероятность Pk,n того, что событие А производится в n опытах k раз выражается формулой: , где (q=1-p)

Введение Во многих разделах математики приходится доказывать истинность предложений, зависящих от натуральной переменной, для всех значений этой переменной. Один из наиболее распространенных методов доказательств истинности таких предложений является метод математической индукции Введение Вспомним знаменитого Шерлока Холмса. Какой метод рассуждения применялся им при расследовании дел? Правильно, метод дедукции – метод рассуждения, при котором новое положение выводится логическим путем от общих положений к частным выводам. А какой метод рассуждений является противоположным дедукции? Верно, индукция – способ рассуждения от частных положений к общим выводам. «Это невозможно!»- скажешь ты, вспомнив тему сегодняшнего урока. Математикам не свойственно делать общие выводы на основании частных случаев. Не спеши огорчаться, математики придумали свою индукцию – математическую, которая не уступает в строгости другим математическим методам.

Численные методы решения задач для ОДУ

Примеры Пример 1. Вычислить где D – трапеция с вершинами А(1;1), В(5;1), С(10;2), D(2;2). Решение Имеем =

Цилиндрический брус Назовём цилиндрическим брусом, или цилиндроидом, тело, ограниченное плоскостью Oxy, поверхностью z=f(x,y) и цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz (рис). Область D, вырезаемая цилиндрическим брусом на плоскости Oxy, называется основанием цилиндра, а цилиндрическая поверхность – его боковой поверхностью. Вычисление объема цилиндрического бруса