Производная по направлению. Градиент. Экстремумы функций нескольких переменных. Метод множителей Лагранжа. (Семинар 24)
Пусть функция u = f (x, y, z) непрерывна в некоторой области D и имеет в этой области непрерывные частные производные. Выберем в рассматриваемой области точку M(x,y,z) и проведем из нее вектор S, направляющие косинусы которого cosα, cosβ, cosγ. На векторе S на расстоянии Δs от его начала найдем точку М1(х+Δх, у+Δу, z+Δz), где Представим полное приращение функции f в виде: где После деления на Δs получаем: . Поскольку предыдущее равенство можно переписать в виде: (1) Определение Предел отношения при называется производной от функции u = f (x, y, z) по направлению вектора S и обозначается . При этом из (1) получаем: (2) Определение Вектор, координатами которого в каждой точке некоторой области являются частные производные функции u = f (x, y, z) в этой точке, называется градиентом функции u = f (x, y, z). Обозначение: grad u = . Экстремумы функции Определение 1. Точка М0 (х0 , у0 ) называется точкой максимума функции z = f (x, y), если f (xo , yo) > f (x, y) для всех точек (х, у) из некоторой окрестности точки М0. Определение 2. Точка М0 (х0 , у0 ) называется точкой минимума функции z = f (x, y), если f (xo , yo) < f (x, y) для всех точек (х, у) из некоторой окрестности точки М0. Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если М0 (х0 , у0 ) – точка экстремума функции z = f (x, y), то в этой точке частные производные первого порядка данной функции равны нулю или не существуют. Определение 3. Точки, принадлежащие области определения функции нескольких переменных, в которых частные производные функции равны нулю или не существуют, называются стационарными точками этой функции. Теорема 2 (достаточные условия экстремума). Пусть в некоторой окрестности точки М0 (х0 , у0 ) , являющейся стационарной точкой функции z = f (x, y), эта функция имеет непрерывные частные производные до 3-го порядка включительно. Обозначим Тогда: 1) f (x, y) имеет в точке М0 максимум, если AC – B² > 0, A < 0; 2) f (x, y) имеет в точке М0 минимум, если AC – B² > 0, A > 0; 3) экстремум в критической точке отсутствует, если AC – B² < 0; 4) если AC – B² = 0, необходимо дополнительное исследование.
