Презентации по Математике

Координатная плоскость Прямоугольной системой координат на плоскости называется пара перпендикулярных координатных прямых с общим началом координат. Начало координат обозначается буквой O, а координатные прямые обозначаются Ox, Oy и называются соответственно осью абсцисс и осью ординат. Плоскость, с заданной прямоугольной системой координат, называется координатной плоскостью. Координаты точки Пусть A – точка на координатной плоскости. Через точку A проведем прямую, перпендикулярную оси Ox, и точку ее пересечения с осью Ox обозначим Ax. Координата этой точки на оси Ox называется абсциссой точки A и обозначается x. Аналогично через точку А проведем прямую, перпендикулярную оси Оy и точку ее пересечения с осью Оy обозначим Ay. Координата этой точки на оси Oy называется ординатой точки А и обозначается y. Таким образом, точке А на координатной плоскости соответствует пара (x, y), называемая координатами точки на плоскости относительно данной системы координат. Точка А с координатами (x, y) обозначается А(x, y).

Аксиомы метрического пространства Все эти расстояния удовлетворяют свойствам, принимаемым за аксиомы метрического пространства. А именно Метрическим пространством называется множество, для любых элементов A1, A2 которого определено неотрицательное число d(A1, A2), называемое расстоянием, для которого выполняются следующие свойства. 1. d(A1, A2) = 0 тогда и только тогда, когда A1 совпадает с A2. 2. d(A1, A2) = d(A2, A1) (симметричность). 3. d(A1, A3) d(A1, A2) + d(A2, A3) (неравенство треугольника). Наличие расстояние позволяет определить некоторые важные геометрические понятия. Отрезок A1A2 – множество элементов A, для которых выполняется равенство d(A1, A) + d(A, A2) = d(A1, A2). Серединный перпендикуляр к отрезку A1A2 – множество элементов A, для которых выполняется равенство d(A, A1) = d(A, A2). Упражнение 1 Для расстояния на координатной плоскости, которое для точек A1(x1, y1), A2(x2, y2) выражается формулой d(A1, A2) = |x2 – x1| + |y2 – y1|, найдите расстояние между точками: а) O(0, 0), A(1, 2); б) A1(1, 2), A2(4, 3). Ответ: а) 3; б) 4.

Упражнение 2 Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений имеет наибольшее число решений. Упражнение 3 Найдите все положительные значения параметра a, при которых система уравнений имеет наибольшее число решений.

На координатной плоскости нарисуйте четырехугольник, вершины которого имеют координаты (4, 1), (4, 3), (1, 3), (1, 1). Найдите его площадь. Ответ. 6. На координатной плоскости нарисуйте четырехугольник, вершины которого имеют координаты (2, 0), (0, 2), (-2, 0), (0, -2). Найдите его площадь. Ответ. 8.

Выпуклые многоугольники Пусть стороны выпуклого многоугольника лежат на прямых, задаваемых уравнениями которая и определяет этот многоугольник. a1x + b1y + c1 = 0, .................., anx + bny + cn = 0. Тогда сам многоугольник является пересечением соответствующих полуплоскостей и, следовательно, для его точек должна выполняться система неравенств вида Квадрат Например, неравенства которые можно переписать в виде системы определяют единичный квадрат. Если к этим неравенствам добавить еще одно неравенство то соответствующий многоугольник получается из квадрата отсечением треугольника.

Средняя линия трапеции Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон. Теорема о средней линии трапеции Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Доказательство. Пусть EF – средняя линия трапеции ABCD (AB || CD). Проведем прямую DF и ее точку пересечения с прямой AB обозначим G. Треугольники DFC и GFB равны по второму признаку равенства треугольников (CF = BF по условию, угол 1 равен углу 2, как вертикальные, угол 3 равен углу 4, как накрест лежащие углы). Из равенства этих треугольников следует, что DF = GF и, значит, EF - средняя линия треугольника AGD. Из теоремы о средней линии треугольника следует, что EF параллельна AB и EF = AG. Так как AB || CD, то EF будет параллельна обоим основаниям и кроме того, EF = AG/2 = (AB + BG)/2 = (AB + CD)/2.

СЕЧЕНИЯ ЦИЛИНДРА ПЛОСКОСТЬЮ Теорема. Внутри эллипса существуют такие точки F1 и F2, называемые фокусами эллипса, что сумма расстояний от любой точки А эллипса до этих точек есть величина постоянная. СЕЧЕНИЯ ЦИЛИНДРА Возьмем прямоугольный лист бумаги и нарисуем на нем оси координат Ox и Oy. Затем свернем этот лист в прямой круговой цилиндр, радиус основания которого примем за единицу. Ось Ox свернется в окружность радиуса 1, а ось Oy станет образующей цилиндра. Через диаметр OD полученной окружности проведем сечение, составляющее с плоскостью окружности угол в 45°. В этом случае сечением будет эллипс. Развернем цилиндр обратно в прямоугольник. Выясним, в какую кривую развернется эллипс.

НАКЛОННЫЙ ЦИЛИНДР В случае, если вместо ортогонального проектирования берется параллельное проектирование в направлении наклонной к плоскости α’, то фигура, образованная отрезками, соединяющими точки круга F с их параллельными проекциями, называется наклонным цилиндром. Боковая поверхность цилиндра Фигура, образованная отрезками, соединяющими точки окружности одного основания цилиндра с их проекциями, называется боковой поверхностью цилиндра. Сами отрезки называются образующими цилиндра. Прямая, проходящая через центры оснований цилиндра, называется осью этого цилиндра. Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением. Расстояние между плоскостями оснований называется высотой цилиндра.

Упражнение 1 Найдите центр и радиус сферы, полувписанной в единичный куб. Упражнение 2 Существует ли полувписанная сфера у прямоугольного параллелепипеда? Ответ: Существует только в случае, если прямоугольный параллелепипед - куб.

Отрезки АВ и СD пропорциональны отрезкам А1В1 и С1D1, если Пропорциональные отрезки АВ СD А1В1 C1D1 = Отрезки АВ и СD пропорциональны отрезкам А1В1 и С1D1, 2 1 3 1,5 = Пример Отрезки АВ, СD и EF пропорциональны отрезкам А1В1, С1D1 и E1F1, если Понятие пропорциональности вводится и для большего числа отрезков. АВ СD А1В1 C1D1 = = EF E1F1

а Д о К М 1 7 36 9 Дайте общее название группам предметов буквы транспорт Геометрические фигуры числа Найди лишний предмет Как можно назвать оставшуюся группу предметов?

Логарифмические неравенства Неравенства вида loga f(x) > logа g(х), где а ≠ 1, a > 0 называют логарифмическими неравенствами loga f(x) > logа g(х) 0 < а < 1 а > 1 или C учетом ОДЗ:

Найдите объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если объем треугольной пирамиды ABDA1 равен 3. №1 Ответ: 18. 1 способ Найдите объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если объем треугольной пирамиды ABDA1 равен 3. №1 Ответ: 18. 2 способ

Оглавление: 1.Место задания в структуре егэ. Кодификация и спецификация. 2.Теоретический материал, используемый при решении задачи. 3.Задача и её решение. 4.Используемая литература и интернет ресурсы. Спецификация задания С2 в егэ Часть №2 в контрольно-измерительных материалах на экзамене в форме ЕГЭ по математике включает в себя 4 задания повышенного уровня сложности и 2 задания высокого уровня. Задание С2 относится к заданиям повышенного уровня сложности и требует от сдающего специальной подготовки для решения данной задачи. Для решения этого задания ученик должен уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами. Также выпускник при решении данного задания должен уметь строить простейшие пространственные и плоские геометрические тела и находить и достраивать нужные элементы фигур. За решение подобного задания ученик может получить максимально два первичных балла. К оглавлению

Сфера – это поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии (R) от данной точки (C). Центр сферы (С) Радиус сферы (R) Диаметр сферы (d=2R) Шар – это тело, ограниченное сферой. Центр шара (С) Радиус шара (R) Диаметр шара (d=2R) Объём шара, шарового сегмента и шарового слоя Vшара= 4/3ПR3 Шаровой сегмент – это часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью. Шаровой слой – это часть шара, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями. Vш. Сегмента = Пh2(R- 1/3h) Vш. слоя=Vш.сег.1-Vш.сег.2 Основание сегмента Высота сегмента (h)

Расстояние между скрещивающимися прямыми Чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми, нужно: 1. Провести через одну из прямых плоскость, параллельную второй прямой. Расстояние между скрещивающимися прямыми  

а) 272,30 34,15 + 306,45 б) 15,000 8,009 + 23,009 в) 0,0078 78,7800 + 78,7878 г) 42,00 3,08 + 45,08 д) 5,934 12,800 + 18,734 е) 13,10 0,09 + 13,19

а) 43,57 18,40 - 25,17 б) 56,00 12,25 - 43,75 в) 37,182 5,900 - 31,282 г) 0,210 0,184 - 0,026 е) 5,00 2,49 - 2,51 ж) 72,00 3,56 - 68,44 з) 0,0200 0,0061 - 0,0139 д) 29,435 29,039 - 0,396

А В С 52,96 5,079 12,387 1) 52,96 – 5,079 = 47,881 координата точки С 2) 52,96 + 12,387 = 65,347 координата точки В Ответ: В(65,347); С(58,039) Наибольшее: Наименьшее: 8322,2 2,2238 8322,2 + 2,2238 = 8322,2 – 2,2238 = 8324,4238 8319,9762 8324,4238 · 10 = 83244,238 8324,4238 : 10 = 832,44238 8319,9762 · 10 = 83199,762 8319,9762 : 10 = 831,99762

а) Выразите в километрах: 3 км 42 см; 9 м. б) Выразите в тоннах: 3 т 23 кг; 4 кг. 3 км 42 см = 3,? км 42 см = 42 : 100000 = 0,00042 км 3,00042 км 9 м = 9 : 1 000 = 0,009 км а) Выразите в километрах: 3 км 42 см; 9 м. б) Выразите в тоннах: 3 т 23 кг; 4 кг. 3 т 23 кг = 3,? т 23 кг = 23 : 1 000 = 0,023 т 3,023 т 4 кг = 4 : 1 000 = 0,004 т

Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса - (лента Мёбиуса), придумал в 1858 году немецкий геометр Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), ученик «короля математиков» Гаусса. Мёбиус был одним из крупнейших геометров 19 века. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых - лист Мёбиуса Лист Мёбиуса (ле́нта Мёбиуса, петля́ Мёбиуса) — топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя при вложении в обычное трёхмерное евклидово пространство. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края

Алгоритм построения таблиц истинности 1. Определить порядок выполнения операций. Например: (A ∨ B) & (A ∨ B) 1 2 3 4 5 Алгоритм построения таблиц истинности Определить количество строк в таблице. Количество строк=2n n – количество логических переменных, входящих в логическое выражение. Например: (A ∨ B) & (A ∨ B) Используется две переменные А и В. Количество строк = 22 = 4.

Законы равноускоренного движения в координатном виде: Задача на оптимальное бросание камня 1. Как нужно бросить камень, чтобы дальность полета L была максимальна? 2. Как нужно бросить камень, чтобы попасть в цель при минимальной начальной скорости?

Учебник с. 85, № 5. Х + 125 = 236 Чем является Х в данном уравнении? 236 Х 125 Х + 125 = 236 Х = 236 - 125 Х = 111 111 - корень 111 - 125 = 236 236 = 236 + ̶ ̶