Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача и теорема Коши
Дифференциальные уравнения высших порядков § 1. Определение. Основные понятия. Пусть имеем дифференциальное уравнение разрешенное относительно старшей производной. y(n)(x) = f(x, y(x), y′(x), …, y(n-1)(x)) (1) Определение 1. Общим решением уравнения вида (1) называется функция y = ϕ(x, c1, c2, …, cn), где c1, c2, …, cn ∈ R – произвольны и ϕ(n)(x) ≡ f (x, ϕ(x), ϕ′(x), …, ϕ(n -1)(x)). Определение 2. Общим интегралом уравнения вида (1) называется выражение вида:
F(x, y, c1, c2, …, cn) = 0,
неявно задающее функцию
y = ϕ(x, c1, c2, …, cn) – общее решение уравнения (1)
Для уравнения (1) ставится задача Коши, смысл которой – выделение из множества решений (1), единственное решение, удовлетворяющее некоторым условиям.
