Презентации по Математике

Ребята! Помогите пчёлкам решить примеры. Чтобы узнать правильный ответ, нажимайте на Чтобы перейти на следующий слайд, нажимай на 80+10 начать игру 90 80+10

Математика и не-факторы Неточность Неполнота Некорректность Недоопределенность … Как выразить неопределенность математически? Измерение неопределенности Теория вероятностей (средние века) Теория возможностей, нечеткие множества (Лотфи Заде, 1978) Вероятность – один из нескольких вариантов с разной степенью осуществимости. Нечеткость – несколько вариантов могут осуществляются одновременно, но не совсем в чистом виде.

Статистическая гипотеза -- это предположение о генеральной совокупности, высказанное на основании статистических выборочных данных. Статистическая проверка гипотез -- это процедура обоснованного сопоставления высказанной гипотезы с имеющимися выборочными данными. Например: исследуем влияние нового лекарственного препарата на снижение артериального давления. X{x1, x2, … xn1} -- контрольная группа (выборка, объёмом n1) Y{y1, y2, … yn2} -- опытная группа (выборка объёмом n2) Высказываются две альтернативные гипотез Н0: -- различия между выборками статистически не значимы (т.е. носят случайный характер). Н1: -- различия между выборками статистически значимы (т.е., например, препарат эффективен) Чтобы принять или опровергнуть эти предположения, используют статистические критерии. Статистический критерий -- это случайная величина, закон распределения которой известен, т.е. каждому значению критерия поставлена в соответствие вероятность, с которой он эти значения принимает.

Проверка значимости различия среднего арифметического и фиксированного значения μ. Иногда случай μ=0 называют проверкой значимости среднего арифметического где ошибка среднего арифметического. Число степеней свободы Находим из таблицы критерия Стьюдента для и заданного α, H0: статистически значимых различий между средним арифметическим и μ нет. Н0 принимаем, сред.ар. не отличается от μ Н0 отвергаем, ср.ар. значимо отличается от μ Пример: Измерена некоторая случайная величина Х. Получены следующие результаты: 15, 18, 13, 14 По критерию Стьюдента проверить, значимо ли полученное значение среднего арифметического отличается от нуля. PD=0,95.

Статистическая гипотеза -- это предположение о генеральной совокупности, высказанное на основании статистических выборочных данных. Статистическая проверка гипотез -- это процедура обоснованного сопоставления высказанной гипотезы с имеющимися выборочными данными. Например: исследуем влияние нового лекарственного препарата на снижение артериального давления. X{x1, x2, … xn1} -- контрольная группа (выборка, объёмом n1) Y{y1, y2, … yn2} -- опытная группа (выборка объёмом n2) Высказываются две альтернативные гипотез Н0: -- различия между выборками статистически не значимы (т.е. носят случайный характер). Н1: -- различия между выборками статистически значимы (т.е., например, препарат эффективен) Чтобы принять или опровергнуть эти предположения, используют статистические критерии. Статистический критерий -- это случайная величина, закон распределения которой известен, т.е. каждому значению критерия поставлена в соответствие вероятность, с которой он эти значения принимает.

1.1КАКОВА РАЗНИЦА МЕЖДУ ВЕКТОРНЫМИ И СКАЛЯРНЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ? СКАЛЯРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ОПРЕДЕЛЯЮТСЯ ЗАДАНИЕМ СВОИХ ЧИСЛЕННЫХ ВЕЛИЧИН, А ХАРАКТЕРИЗУЮТСЯ НЕ ТОЛЬКО СВОИМ ЧИСЛОВЫМ ЗНАЧЕНИЕМ, НО И НАПРАВЛЕНИЕМ В ПРОСТРАНСТВЕ. 1.2. ЧТО ТАКОЕ ВЕКТОР И КАК ЕГО ОБАЗНАЧАЮТ? ВЕКТОР-ЛЮБОЙ НАПРАВЛЕННЫЙ ОТРЕЗОК. ОБОЗНАЧАЮТ АВ ИЛИ a. 1.3.КАКИЕ ВЕКТОРЫ НАЗЫВАЮТСЯ КОЛЛИНЕАРНЫМИ? ПРИВЕДИТЕ ПРИМЕР СОНАПРАВЛЕННЫХ И ПРОТИВОПОЛОЖНО НАПРАВЛЕННЫХ. ЕСЛИ 2 ВЕКТОРЫ ЛЕЖАТ НА ОДНОЙ ПРЯМОЙ ИЛИ НА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ , ТО ТАКИЕ ВЕКТОРЫ НАЗЫВАЮТЯ КОЛЛИНЕАРНЫМИ(рис 1 ) СОНАПРАВЛЕННЫЕ ВЕКТОРЫ (рис2) ПРОТИВОПОЛОЖНО НАПРАВЛЕННЫЕ (рис3) 1.4. КАКИЕ ВЕКТОРЫ НАЗЫВАЮТСЯ РАВНЫМИ? ВЕКТОРЫ НАЗЫВАЮТСЯ РАВНЫМИ, ЕСЛИ ОНИ СОНАПРАВЛЕННЫЕ И ИХ МОДУЛИ РАВНЫ. (рис4) 1.5. КАКАЯ СВЯЗЬ МЕЖДУ РАВЕНСТВОМ ВЕКТОРОВ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ ПЕРЕНОСОМ? РАВНЫЕ ВЕКТОРЫ МОЖНО СОВМЕСТИТЬ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ ПЕРЕНОСОМ,И, ОБРАТНО, ЕСЛИ ВЕКТОРЫ СОВМЕЩАЮТСЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ ПЕРЕНОСОМ , ТО ЭТИ ВЕКТОРЫ ПАВНЫ. 1.6. ЧТО ТАКОЕ МОДУЛЬ ВЕКТОРА? ДЛИНА ОТРЕЗКА АВ НАЗЫВАЕТСЯ МОДУЛЕМ ВЕКТОРА АВ И ОБОЗНАЧАЕТСЯ /AB/. 1.7. ЧТО ВЫ ЗНАЕТЕ О НУЛЕВОМ ВЕКТОРЕ? НУЛЕВОЙ ВЕКТОР – КОНЕЦ И НАЧАЛО КОТОРОГО СОВПАДАЮТ. ОБАЗНАЧАЕТСЯ 0. 2.1 СФОРМУЛИРУЙТЕ ПРАВИЛО ТРЕУГОЛЬНИКА И ПАРАЛЛЕЛОГРАММА СЛОЖЕНИЯ ВЕКТОРОВ. ПРАВИЛО ТРЕУГОЛЬНИКА Для того чтобы сложить два вектора a⃗ и b нужно переместить вектор b⃗ параллельно самому себе так, чтобы его начало совпадало с концом вектора a⃗.Тогда их суммой будет вектор c⃗ , начало которого совпадает с началом вектора a⃗ , а конец — с концом вектора b⃗ (рис1) ПРАВИЛО ПАРАЛЛЕЛОГРАММА Для того чтобы сложить два вектора a⃗ и b⃗ нужно переместить их параллельно самим себе так, чтобы начала векторов a⃗ и b⃗ находились в одной точке. Затем построить параллелограмм, сторонами которого будут эти вектора. Тогда суммой a⃗ +b⃗ будет вектор c⃗ , начало которого совпадает с общим началом векторов, а конец — с противоположной вершиной параллелограмма. (рис2)

Двумерная графика Процесс вывода трехмерной графической информации более сложный, чем соответствующий двумерный процесс В двумерном случае просто задается видимое окно в двумерном мировом координатном пространстве и окно вывода на экране дисплея Трехмерная графика В трехмерном случае объекты, описанные в мировых координатах, отсекаются по границе видимого объема, а после этого должны быть отображены в окне  вывода на экране дисплея Сложность состоит в том, что экран дисплея не имеет третьего измерения Решение проблемы достигается путем введения проекций, которые отображают трехмерные объекты на двумерной проекционной картинной плоскости (КП)

2. Системы линейных уравнений Понятие СЛУ Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид: В кратком виде такую систему записывают

1. Матрицы Понятие матрицы Числовой матрицей размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами. Через aij обозначается элемент, находящийся в i-й строке и j-м столбце. В кратком виде такую матрицу записывают A = (aij).

Множество Понятие «множество» относится к базовым неопределяемым научным понятиям. Множество может состоять из любых различимых объектов. Множество однозначно определяется набором составляющих его объектов. Любое свойство определяет множество объектов, которые этим свойствам обладают. Элементы множества A = { x | P(x) } – эта запись означает, что множество A состоит из всех объектов, которые обладают свойством P. Объекты, составляющие множество, называются его элементами. Если x – элемент множества A, то говорят «x принадлежит A» и пишут «x ∈ A». Иначе говорят «x не принадлежит A» и пишут «x ∉ A».

Дифференциальное исчисление Дифференцируемая функция Выражение Δf(x) = f(x) – f(a) называется приращением функции f(x). Выражение Δx = x – a называется приращением аргумента. Приращение функции можно выразить через приращение аргумента: Δf(Δx) = f(a + Δx) – f(a). Функция f: X → ℝ называется дифференцируемой в точке x ∈ X, если ∃ такая линейная относительно Δx функция df(Δx) = A(x)⋅Δx, что приращение функции можно представить в виде: f(x + Δx) – f(x) = A(x)Δx + o(Δx). Функция df(Δx) называется дифференциалом функции f(x).

Понятие вектора Многие физические величины характеризуются числовым значением и направлением в пространстве, их называют векторными величинами Понятие вектора Отрезок, для которого указано, какая его граничная точка является началом, а какая - концом, называется направленным отрезком или вектором Конец вектора Начало вектора - вектор

Определение. Функция вида у = ах2+bх+с, где а, b, c – заданные числа, а ≠ 0, х – действительная переменная, называется квадратичной функцией. 1. Коэффициент а влияет на направление ветвей параболы: при а > 0 – ветви направлены вверх, при а < 0 – вниз. 2. Коэффициент b влияет на расположение вершины параболы: при b = 0 вершина лежит на оси ОУ. 3. Коэффициент с показывает точку пересечения параболы с осью ОУ.

Решение текстовой задачи состоит из трёх частей. Эти три шага составляют процедуру математического моделирования. Перевод условия на математический язык (конструирование математической модели задачи). Оперирование полученной моделью с использованием математического аппарата и получение результата на языке математики. Перевод полученного результата на естественный язык и его интерпретация. Перед основной работой специальное упражнение: Представьте ситуацию. Из корзины взяли три яблока. Могу ли я сказать об этом так: «В корзине стало на три яблока меньше» «Из корзины взяли сначала одно яблоко, а потом два» «В корзине осталось на три яблока меньше, чем было»

I. Взаимное расположение в Прямых в пространстве 1.Параллельные прямые 2.Пересекающиеся прямые 3.Скрещивающиеся прямые 1. Параллельные Прямые 1)Параллельными прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и либо совпадают, либо не пересекаются.

При решении многих вопросов, связанных с использованием земельной территории, необходимо знать площади тех или иных участков. Площади участков могут быть определены или по результатам обмера участка в натуре или по планам и картам. Измерение площадей г р а ф и ч е с к и й, когда площадь вычисляется по данным, взятым графически с плана или карты; а н а л и т и ч е с к и й, когда площадь вычисляют непосредственно по результатам полевых измерений или по их функциям – координатам вершин участка; м е х а н и ч е с к и й, когда площадь определяется по плану при помощи специальных приборов, называемых планиметрами. Существует три основных способа определения площадей по карте (плану): 2 Графический способ Площадь участка разбивают на простейшие геометрические фигуры: треугольники, прямоугольники, трапеции, измеряют соответствующие элементы этих фигур (длины оснований и высоты) и по геометрическим формулам вычисляют площади этих фигур. Площадь всего участка определяется как сумма площадей отдельных фигур. Для малых участков (2-З см2) с резко выраженными криволинейными границами определение площади целесообразно производить с помощью квадратной палетки. Палетку можно изготовить на кальке, расчертив ее сеткой квадратов со сторонами 1-5 мм. 3

ФУНКЦИЯ Y=C ГДЕ (C=CONST) Свойства функции: Область определенения: D(y)=(-∞;+∞) Область значений функции: E(f)=const Чётность, нечётность: функция чётная Промежутки возрастания/убывания: f(x)=const Нули функции: отсутствуют Точки экстремумов: f(x)=const Ограничение функции: (-∞;+∞) Знакопостоянства: y>0 при x∈(0;+∞)     y

Вероятностные распределения в ППП Арена В ППП Arena заложены следующие стандартные распределения случайных величин: continious (непрерывное): CumP1, Val1, …. CumPn, Valn; discrete (дискретное): CumP1, Val1, …. CumPn, Valn; erlang (распределение Эрланга): ExpoMean, k; johnson (распределение Джонсона): Gamma, Delta, Lambda, Xi; lognormal (логнормальное): LogMean, LogStd; Вероятностные распределения в ППП Арена Равномерное распределение случайных величин U(a, b)

“Весь этот мир держится исключительно на математике,- сказал Роб Кук, ушедший на пенсию вице-президент Pixar и автор многих важных программ, используемых при создании трехмерной графики.- Что бы вы в нем ни делали, все описывается математическими действиями. И если все сделано правильно, то никто об этом не догадывается”. Для создания трехмерной анимации требуется не только разбираться в программном обеспечении, но и быть знатоком физики с математикой. Только обладая совокупностью этих познаний, можно создать реалистический виртуальный мир. Представьте себе локоть. Когда он гнется, рука, предплечье, запястье двигаются , а мышцы сжимаются и разжимаются – и все это можно описать при помощи математики. При работе над трехмерной анимацией или графикой компьютерной игры тригонометрия помогает задать вращение и движение, алгебра используется при создании спецэффектов, а интегральное исчисление помогает создать реалистичное освещение. Стив Джобс.

1. Понятие функция. Способы задания функции. Опр. 1. Переменная величина y называется функцией от переменной величины х, если они связаны между собой так, что каждому рассматриваемому значению величины х соответствует единственное вполне определенное значение величины у. Это определение в общих чертах было сформулировано гениальным русским математиком Н.И. Лобачевским y=f(x), y=F(x) – функциональная зависимость х и у. f, F – характеристики функции, х – независимая переменная (аргумент), у – зависимая переменная. Опр. 2. Графиком функции у=f(х) называется множество всех точек М(х,у) плоскости хОу, координаты которых связаны данной функциональной зависимостью. Опр. 3. Совокупность всех значений независимой переменной х, для которых функция определена, называется областью определения или областью существования функции.

«Каждая решённая мною задача становилась образцом, который служил впоследствии для решения других задач» Задача 1. В прямоугольнике ABCD опущен перпендикуляр BK на диагональ AC. Точки M и N – середины отрезков AK и CD соответственно. Докажите, что угол BMN – прямой. Решение. I способ Векторный метод A B C D M N K высота, проведенная из вершины прямого угла

Краткое содержание Что такое интеграл История возникновения интеграла Применение интегралов в физике и геометрии Что такое интеграл В высшей математике используется такое понятие, как интеграл или полное название - интеграл функции. Итак, что такое интеграл? Это то же самое, что сумма сложения бесконечно малых слагаемых (точек, отрезков), которых имеется бесконечно огромное количество. Обозначается интеграл знаком «ʃ». Упрощённо интеграл можно представить как аналог суммы для бесконечного числа бесконечно малых слагаемых. Неформально интеграл функции можно описать как площадь фигуры, образующейся между осью х (ось абсцисс) и кривой графика функции (такая фигура называется криволинейной трапецией). Процесс определения данной площади называется интегрированием. Иногда функция может быть задана несколькими переменными (неизвестными), тогда интеграл является объемом под поверхностью, которую образует график данной функции.

Русская система мер — система мер, традиционно применявшихся на Руси и в Российской империи. На смену русской системе пришла метрическая система мер, которая была допущена к применению в России (в необязательном порядке) по закону от 4 июня 1899 года. Система старинных русских мер  Меры площади Меры длины Меры объёма Меры веса 1 миля = 7 вёрст = 7,468 км. 1 верста = 500 саженей = 1066,8 м. 1 сажень = 3 аршина = 7 футов = 100 соток = 2,133 600 м. 1 аршин = 4 четверти = 28 дюймов = 16 вершков = 0,711 200 м. 1 четверть (пядь) = 1/12 сажени = ¼ аршина = 4 вершка = 7 дюймов = 177,8 мм. 1 фут = 12 дюймам = 304,8 мм. 1 вершок = 1,75 дюйма = 44,38 мм. 1 дюйм = 10 линиям = 25,4 мм. 1 сотка = 1/100 сажени = 21,336 мм [2]. 1 линия = 10 точкам = 2,54 мм. 1 точка = 1/100 дюйма = 1/10 линии = 0,254 мм. Русские меры длины