Функции нескольких переменных, область определения. Частные производные. Полный дифференциал. Лекция №1-2
Если каждой паре (х,у) значений двух не зависимых друг от друга переменных величин х и у из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины z, то говорят, что z есть функция двух независимых переменных х и у, определенная в области D: Примеры. 1) Площадь S прямоугольника со сторонами, длины которых равны х и у , выражается формулой . Каждой паре значений х и у соответствует определенное значение площади S, т.е. S есть функция двух переменных. 2) Объем V прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины которых равны x, y, z выражается формулой . В данном примере V является функцией трех переменных. Определение функции двух переменных Совокупность пар (х; у) значений х и у , при которых определяется функция , называется областью определения или областью существования этой функции. Обозначение: D(z) или D(f). Область определения наглядно иллюстрируется геометрически: если каждую пару значений х и у мы будем изображать точкой M(x;y) в плоскости Оху, то область определения функции изобразится в виде некоторой совокупности точек на плоскости. Эту совокупность точек будем называть также областью определения функции. Линию, ограничивающую данную область будем называть границей области. Точки области, не лежащие на границе, называются внутренними точками области. Область, состоящая только из внутренних точек области называется открытой или незамкнутой. Если же к области относятся и точки границы, то область называется замкнутой.