Оценка сложных систем в условиях стохастической неопределенности. (Лекция 10)

функции полезности

Литература:
1 Анфилатов, В.С. Системный анализ в управлении: Уч. пособие: /В.С. Анфилатов, А.А. Емельянов, А.А. Кукушкин. – М.: Финансы и статистика, 2006. - 109-130 с. – ISBN 5-279-02435-X
2 Соловьев, Н.А. Основы теории принятия решений для программистов: учебное пособие: /Н.А. Соловьев, Е.Н. Чернопрудова, Д.А. Лесовой – Оренбург: ООО ИПК «Университет», 2012. – С. 32-47. ISBN 978-5-4417-0092-4.

или убыток.

.

Принятие решений в условиях риска предполагает, что каждой альтернативе аi, соответствует свое распределение вероятностей на множестве исходов уj.

Матрица решений

Матрица решений интерпретируется следующим образом – решение аi может реализовать различные исходы из соответствующей строки матрицы: уi1,yi2,…,yim. Какой именно исход реализуется, зависит от значения параметра неопределенности z, который может иметь различный содержательный смысл.

сводится задаче оптимизации

Y = F(a,z).

Задачу принятия решений в условиях риска можно представить в форме функции риска

Каждому состоянию среды zj соответствует вероятность его наступления p(zj)

При многократно реализуемым исходам используется МОЖ критерия вида

Принятие решений в условиях риска

где pi(yj(ai)) – вероятность наступления исхода yj при выборе альтернативы аi .

ничейном счете тренер должен принять решение о замене вратаря 6-м полевым игроком.
Имеется информация, что в аналогичных условиях предыдущих встреч замена вратаря в 1/6 части случаев привела к выигрышу, в половине (1/2) – к ничьей и в 1/3 – к поражению.
Если же вратарь не менялся, то в 7/8 случаев встреча заканчивалась в ничью, а в 1/8 части случаев команда проигрывала.

Матрица решений (а1 –вратаря сменить, а2 – вратаря не менять)

где В – выигрыш, приносящий 2 очка;
Н – ничья (1 очко);
П – поражение (0 очков).

Решение

Цель (критерий) принятия решений - максимальное число ожидаемых очков.

числа ожидаемых очков, принимается решение вратаря не менять.

Расчет параметра неопределенности:
z1: a1 → B, a2 → H, p(z1) = 1/6 × 7/8 = 7/48
z2: a1 → Н, a2 → H, p(z2) = 1/2 × 7/8 = 7/16
z3: a1 → П, a2 → H, p(z3) = 1/3 × 7/8 = 7/24
z4: a1 → B, a2 → П, p(z4) = 1/6 × 1/8 = 1/48
z5: a1 → Н, a2 → П, p(z5) = 1/2 × 1/8 = 1/16
z6: a1 → П, a2 → П, p(z6) = 1/3 × 1/8 = 1/24

которое характеризует его предпочтительность по сравнению с другими альтернативами относительно цели.

Доказано существование функции полезности, для которой предпочтения ЛПР формулируются в виде аксиом:
Аксиома 1 – измеримость (каждому альтернативному исходу yk может быть поставлено неотрицательное действительное число рi, (0≤рi≤1), рассматриваемое как мера относительной полезности исхода.
Аксиома 2 – сравнимость (любые два исхода (альтернативы) сравнимы: либо один исход предпочтительней другого, либо они эквивалентны).
Аксиома 3 – транзитивность (соотношения предпочтения исходов транзитивны, если исход ai предпочтительнее аj , а исход аj предпочтительнее аk, то исход ai также предпочтительнее аk).
Аксиома 4 – коммутативность (предпочтение исхода ai исходу аj не зависит от порядка, в котором они представлены).
Аксиома 5 – независимость (если исход ai предпочтительнее исхода аj и, кроме того, существует исход аk , который не оценивается относительно исходов ai и аj , то смесь исходов ai и аk предпочтительнее смеси исходов аj и аk.

через F(y) – функцию полезности на множестве исходов у, т.е. критерий выбора (решения) примет вид

При исходах с дискретными значениями показателей

– условная вероятность появления значения показателя;

– значения частного показателя;

– функция полезности значения показателя;

где

При исходах с непрерывными значениями показателей

Функция полезности

Функция полезности представляет собой числовую функцию F(a), определенную на множестве альтернатив A={ai) так, что F(ai) = F(aj), когда альтернативы ai и aj неразличимы; F(ai) > F(aj), когда альтернатива ai предпочтительнее aj .

В соответствии с этим критерием оптимальной системой в условиях стохастической неопределенности считается система с максимальным значением математического ожидания функции полезности на множестве исходов операции.

как меры оценки того или иного исхода операции представляет сложную задачу, точные методы решения которой пока не найдены. Все известные способы определения функции полезности носят приближенный характер и относятся к экспертному оцениванию или аппроксимации.

– треугольное

Определение полезности (продолжение)

между пользователями,
альтернативы – вариант размещения сетевого оборудования,
показатель исхода операции – число переданных сообщений nk.

Таблица – Данные для оценки ЛВС

Пример

критерии оценки систем:
- максимум вероятности случайного события;
- максимум вероятностной гарантии достижения результата не ниже требуемого уровня;
- максимум среднего квадрата уклонения результата от требуемого;
- минимум дисперсии результата;
- минимум среднего (байесовского) риска (минимум средних потерь).

Критерии оценки систем

В качестве оптимальной системы должен быть признан вариант 2.