Презентации по Математике

II По форме представления уровней: 1. ряды абсолютных величин (таблица) Объем продаж долларов США на ММВБ, млн. долл. 2. ряды относительных величин (таблица) Индекс инфляции в 2012 г. (на конец периода, в % к декабрю 2011 года)

Показатели вариации (абсолютные) 1. Размах вариации R = Xmax − Xmin 2. Среднее линейное отклонение , или , или 3. Дисперсия или средний квадрат отклонений 4. Среднее квадратическое отклонение: Показатели вариации (относительные) Коэффициент осцилляции: Относительное линейное отклонение: Коэффициент вариации:

Пример 1 Медиана

Можно выделить следующие виды показателей. 1. По сущности изучаемых явлений: - объемные – характеризуют размеры процессов (например, объем товарооборота); - качественные - выражают количественные соотношения, типичные свойства изучаемых совокупностей (например, уровень производительности труда). 2. По степени агрегирования явлений: - индивидуальные – характеризуют единичные процессы; - обобщающие – отображают совокупность в целом или ее части

Производные высших порядков Итак: Производной n – ого порядка (или n – ой производной) называется производная от производной n -1 - ого порядка. Производная от производной второго порядка, если она существует называется производной третьего порядка и обозначается: Итак: Производные высших порядков - производная пятого порядка. Начиная от производной 4 порядка , производные обозначаются римскими цифрами или цифрами в скобках: Вычислить производную n – ого порядка от функции:

Производные высших порядков. n-ой производной (или производной n-го порядка) функции f(x) в точке х называется производная от производной (n-1)-го порядка в точке х. Обозначение: вторая производная Обозначения: или

Вычисление производной путем логарифмирования. Функцию вида называют показательно-степенной или сложной показательной функцией.

Техника дифференцирования элементарных функций. Правила дифференцирования.

x y 0 a b y = f(x) Криволинейная трапеция- это фигура, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функции f(x), x∈[a;b], параллельными прямыми x=a и x=b и отрезком оси ОХ. x = a x = b Пусть y = f(x) непрерывная функция на отрезке [a;b] Криволинейная трапеция. Понятие определённого интеграла. x y 0 a=x0 b=xn y = f(x) Найдём площадь криволинейной трапеции. 1) Разобъем отрезок [a;b] точками xi (a = x0

Метод интегрирования по частям. Пусть дифференцируемые функции известно тогда проинтегрируем то Если интеграл, стоящий справа, проще интеграла, стоящего слева, то применение формулы имеет смысл.

Первообразная. Задача дифференциального исчисления: по данной функции найти её производную. Задача интегрального исчисления: найти функцию, зная её производную. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для любого х из этого промежутка справедливо равенство Fʹ(x)=f(x). Пример 1. Найти первообразные для функций:

В наше время мы, не задумываясь, производим вычисления в метрах, граммах, литрах и т.д. Это ведь удобно, единая система СИ устраивает почти всех.  Но, естественно, так было не всегда. И вот, начиная с древнейших времен язычества, вплоть до 19 века, наши предки пользовались другими мерами и единицами. Нередко мы слышим слова: сажень, верста ,вершок – но, сколько это в переводе, не знаем. МЕРЫ ДЛИНЫ

1. Непрерывность функции в точке. Односторонняя непрерывность. Функция y = f(x), определенная на интервале (а, b), называется непрерывной в точке , если . Условия непрерывности функции в точке х0: Точка должна принадлежать области определения функции. Функция должна быть определена и в некоторой окрестности точки х0. Функция f(x) должна иметь конечный предел в точке х0, т. е. f(x) = А. Этот предел А должен быть равен значению функции в этой точке, т. е. f(x0) = А. Если соотношение не имеет смысла, то функция называется разрывной в точке х = х0, а сама точка х = х0 называется точкой разрыва функции f(x). Функция f(x) называется непрерывной при х = x0, если её левосторонний и правосторонний пределы существуют, равны между собой и равны значению функции в этой точке, т. е. f(x0 – 0) = f(x0 + 0) = f(x0). Функция f(x), определенная в некоторой левой (правой) окрестности точки x0, называется непрерывной слева (справа) в точке x0, если существует предел слева (справа) функции y = f(x) и он равен f(x0).

1. Понятие матрицы Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длинны (или n столбцов одинаковой длинны). Матрица записывается в виде или, сокращённо, , где - номер строки, - номер столбца. Матрицу А называют матрицей размера m×n и пишут Am×n. Числа aij, составляющие матрицу, называются её элементами. Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц, т. е. A=B, если aij= bij. Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной.

Означення показникової функції Наприклад: Функція y=ax , де a>0 і a≠1 називається показниковою (з основою a). Які з наведених функцій є показниковими :

или Эта формула может использоваться для приближенных вычислений. Пример. Вычислить приближенно

Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала: 2 3 Дифференциал алгебраической суммы (разности) конечного числа дифференцируемых функций равен сумме (разности) дифференциалов этих функций:

Треугольник MNK – прямоугольный, следовательно Дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции y=f(x) в данной точке, когда х получает приращение Δх.

10.1. ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ФУНКЦИИ Пусть функция y=f(x) определена на промежутке Х и дифференцируема в некоторой окрестности точки Тогда существует конечная производная На основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функций имеем: Где - бесконечно малая величина при Следовательно, Таким образом, приращение функции состоит из двух слагаемых: 1. линейного относительно 2. нелинейного, являющегося бесконечно малой величиной более высокого порядка, чем

3 Найти вертикальные асимптоты. 4 Исследовать поведение функции на бесконечности и найти горизонтальные или наклонные асимптоты. 5 Найти экстремумы и интервалы монотонности функции. 6 Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба. 7 Найти точки пересечения графика с осями координат и некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

вертикальная асимптота горизонтальные асимптоты

Функция y=f(x) называется выпуклой вверх на промежутке Х, если для любых х1, х2 из этого промежутка выполняется неравенство:

схема нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке: 1 Найти производную функции. 2 Найти критические точки, в которых производная равна нулю или не существует. 3 Найти значения функции в критических точках и на концах отрезка, и выбрать из них наибольшее и наименьшее значения.

Точка х1 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки х1 выполняется неравенство Значения функции в точках х0 и х1 называются соответственно максимумом и минимумом функции. Максимум и минимум функции называется экстремумом функции. max min max