Презентации по Математике

Практические приложения подобия треугольников. О подобии произвольных фигур 28.02.17 Определение домашнего задания Практическая работа «Измерительные работы на местности» п. 65 ПР «О подобии произвольных фигур» Глава 3 Проверочная работа

Короткі історичні відомості Поняття інтеграла та інтегрального числення виникли через необхідність обчислювати площі фігур і поверхонь та об'ємів довільних тіл. Символ увів Лейбніц у 1686 році. Інтеграл - центральне поняття інтегрального числення, узагальнення поняття суми для функції, що визначена на континуумі. Короткі історичні відомості Історія розвитку понять інтеграла й інтегрального числення пов’язана з потребою в обчисленні площ фігур, а також поверхонь і об’ємів довільних тіл. Передісторія інтегрального числення сягає глибокої давнини: ідеї інтегрального числення можна знайти в роботах давньогрецьких учених Евдокса Кнідського (бл.408-355 до н.е.) і Архімеда (бл.287-212 до н.е.).

Знайдіть ракету. Назвіть геометричні фігури. Тренування Порахувати від 10 до 20 у прямому порядку. Порахувати від 20 до 10 у зворотньому порядку. Яке число наступне для числа 12, 16? Яке число є попереднім для числа 17, 14? Назвіть «сусідів» числа 15, 18. Яке число більше 17 на 1? Яке число менше 11 на 1? Як утворити 16 із числа 14? Яке число більше: 14 чи 18? Перший доданок 10, другий доданок – 9. Назвіть суму. Зменшуване 18, від’ємник -8. Назвіть різницю цих чисел. Назвіть число, в якому 1 десяток і 3 одиниці. Миколі 4 роки. Таня старша від нього на 1 рік. Скільки років Тетянці?

Поиск части от числа Правило: Чтобы найти, какую часть составляет число k от числа n, надо число k разделить на число n: k от n составляет . n k Поиск части от числа Если часть выражена дробью, то, чтобы найти часть от числа, можно число разделить на знаменатель этой дроби и результат на знаменатель этой дроби и результат умножить на ее числитель: от числа a равно b, значит, b=a:n·k. Если часть выражена дробью, то, чтобы найти часть от числа, можно число умножить на эту дробь: b = a· n k k n

В геометрии выделяют задачи на построение, которые можно решить только с помощью двух инструментов: IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 которого с помощью 1) циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, а также окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку; которая позволяет провести произвольную прямую, а также построить прямую, проходящую через две данные точки. 2) линейки без масштабных делений, Простейшие задачи на построение b а М М b а 2. Построение угла, равного данному. 3. Построение биссектрисы угла. 1. Построение середины отрезка. О О А О В 4.Построение перпендикуляра к прямой, проходящего через точку, лежащую на этой прямой. 5.Построение перпендикуляра к прямой, проходящего через точку, не лежащую на этой прямой.

Шкала отношений шкала, дающая возможность получения в результате измерительной процедуры таких данных о выраженности свойств объектов, когда можно сказать, во сколько раз один объект больше или меньше другого. Признаки шкалы отношений: положение абсолютной нулевой точки известно; применение всех математических действий: сложение, вычитание, умножение, деление; возможность определения каждого из следующих четырех соотношений: равенство, ранговый порядок, равенство интервалов и равенство отношений.

Двойной интеграл. § 1. Задача приводящая к понятию двойного интеграла. Рисунок. 1.1

Квадрат суммы (a+b)2=a2+2ab+b2 (2a+3b)2=(2a)2+2*2a*3b+ +(3b)2=4a2+ 12ab+9b2 Квадрат разности (a-b)2=a2-2ab+b2 (3a-5b)2=(3a)2-2*3a*5b+ +(5b)2=9a2-30ab+25b2

Симметрия. Симметрия (др.-греч. συμμετρία = соразмерность; от συμ- — совместно + μετρέω — мерю), в широком смысле — соответствие, неизменность (инвариантность), проявляемые при каких-либо изменениях, преобразованиях (например: положения, энергии, информации, другого). Так, например, сферическая симметрия тела означает, что вид тела не изменится, если его вращать в пространстве на произвольные углы (сохраняя одну точку на месте). Двусторонняя симметрия означает, что правая и левая сторона относительно какой-либо плоскости выглядят одинаково. Отсутствие или нарушение симметрии называется асимметрией или аритмией. Симметрии могут быть точными или приближёнными. Общие симметричные свойства описываются с помощью теории групп.

Означення Послідовністю називається множина чисел, занумерованих натуральними числами у порядку зростання останніх.   Елементи множини з означення називаються членами послідовності.   Способи задання послідовностей Аналітичний Табличний Графічний Рекуретний

Означення границі послідовності       або   Позн. Означення Послідовність, яка має границю, називається збіжною. Послідовність, у якої не має границі називається розбіжною.

Полуправильный многогранник -многогранник, у которого все его многогранные углы равны между собой, но не обязательно правильные, а все его грани- правильные многоугольники, но не все равны между собой. Виды полуправильных многогранников: Равноугольные, у которых стороны равны через одну. Например прямоугольник.

Многогранники в природе "Природа вскармливает на своем лоне неисчерпаемое количество удивительных созданий, которые по красоте и разнообразию далеко превосходят все созданные искусством человека формы". В книге немецкого биолога Э. Геккеля "Красота форм в природе" можно прочитать такие строки:

Лінію в НГ розглядають як : траєкторію переміщення точки в просторі траєкторію переміщення точки у площині 1. КРИВІ ЛІНІЇ Якщо всі точки кривої лінії належать одній площині, то така крива має назву плоскої (коло, еліпс, парабола, гіпербола). Якщо всі точки кривої лінії не належать одній площині, то така крива має назву ПРОСТОРОВА (гвинтова лінія).

I. Примеры Найти общий интеграл. Поделим обе части на чтобы разделить переменные. Проинтегрируем обе части: - общий интеграл После нехитрых преобразований можно разрешить это уравнение относительно y и получить общее решение. 1. Перепишем уравнение, заменив на - общий интеграл 2.

4. Однородные ДУ I порядка. Функция f(x;y) называется однородной степени n, если умножение всех её аргументов на одно и то же число t равносильно умножению функции на tn, т.е.

Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, содержащее производные от искомой функции или её дифференциалы. или Примеры ДУ:

3. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами Пусть линейное однородное уравнение имеет вид y(n) + a1 ⋅ y(n – 1) + … + an – 1 ⋅ y ′ +  an ⋅ y = 0 , (10) где a1 , a2 , … , an – некоторые действительные числа. Уравнение (10) называется линейным однородным уравнением n–го порядка с постоянными коэффициентами. Решения уравнения (10) будем искать в виде y = eλ x , где λ – некоторая постоянная. Имеем: y ′ = λ ⋅ eλ x , y ′′ = λ2 ⋅ eλ x , y ′′′ = λ3 ⋅ eλ x , … , y(n) = λn ⋅ eλ x . Подставляем y , y ′ , y ′′ ,  … , y(n) в уравнение (10) и получаем: λn ⋅ eλ x + a1 ⋅ λn – 1 ⋅ eλ x + … + an – 1 ⋅ λ ⋅ eλ x +  an ⋅ eλ x = 0 , ⇒ λn  + a1 ⋅ λn – 1  + … + an – 1 ⋅ λ  +  an  = 0 . (11) Уравнение (11) называется характеристическим уравнением (для) уравнения (10). Многочлен в левой части (11) называется характеристичес- ким многочленом, Корни уравнения (11) называются характеристическими корнями уравнения (10). Замечания. 1) Формально характеристическое уравнение (11) получается из (10) заменой производных искомой функции на соответ- ствующие степени λ, а самой функции – на λ0 = 1 . 2) Уравнение (10) – алгебраическое уравнение n-й степени. ⇒ оно имеет n корней, но 1) каждый корень считается столько раз, какова его кратность; 2) корни могут быть комплексными (причем, комплексные корни попарно сопряжены). Следовательно, функции вида eλ x в общем случае не дадут всю ф.с.р. уравнения (10).

§14. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка 1. Общие понятия и определения ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции y и ее производных y ′ , y ′′ ,  … , y(n), т.е. уравнение вида p0(x)⋅y(n) + p1(x)⋅y(n – 1) + … + pn – 1(x)⋅y ′ +  pn(x)⋅y = g(x) , (7) где pi(x) (i = 0, 1, 2, …, n) и g(x) – заданные функции. Если g(x) ≡ 0, то уравнение (7) называется линейным однородным. Если g(x) ≢ 0 , то уравнение (7) называется линейным неоднородным (или уравнением с правой частью). Так как p0(x) ≢ 0 , то уравнение (7) можно записать в виде: y(n) + a1(x) ⋅ y(n – 1) + … + an – 1(x) ⋅ y ′ +  an(x) ⋅ y = f(x) . (8) Уравнение (8) называют приведенным. В дальнейшем будем работать только с приведенным уравнением. Кроме того, будем предполагать, что ai(x) (i = 1, 2, …, n) и f(x) непрерывны на некотором отрезке [a;b]. Тогда в области D = {(x ,y0 ,y1 ,y2 , … , yn–1) | ∀x∈[a;b] ,  ∀yi∈ℝ}⊂ℝn + 1 для уравнения (8) будут выполняться условия теоремы существования и единственности решения. Следовательно, ∀x0∈[a;b] и ∀y0 , y0i∈ℝ существует един- ственное решение уравнения (8), удовлетворяющее условию y(x0) = y0 , y ′ (x0) = y01 , y ′′ (x0) = y02 ,  … ,  y(n–1)(x0) = y0n–1 .

§9. Уравнения в полных дифференциалах Уравнение M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0  (14) называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u(x , y) , т.е. если M(x , y)dx + N(x , y)dy = du(x , y) . Общий интеграл уравнения в полных дифференциалах имеет вид u(x , y) = C . ⇒ Задачи: 1) научиться определять, когда выражение M(x , y)dx + N(x , y)dy  является полным дифференциалом; 2) научиться находить функцию u(x , y), зная ее полный диф- ференциал. ТЕОРЕМА 1. Пусть функции M(x , y) , N(x , y) определены и непрерывны в области D плоскости xOy и имеют в ней непрерывные частные производные Для того чтобы выражение M(x , y)dx + N(x , y)dy  представляло собой полный дифференциал некоторой функции u(x , y) , необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области D выполнялось условие ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

§ 11. Дифференциальные уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной ДУ 1-го порядка, разрешенное относительно производной – уравнение, которое можно записать в виде y ′ = f(x,y). В общем случае ДУ 1-го порядка имеет вид: F(x, y, y ′) = 0 . Если из уравнения F(x, y, y ′) = 0  нельзя выразить y ′, то уравне- ние называют не разрешенным относительно производной. 1. Уравнения, разрешаемые относительно y ′ неоднозначно Пусть F(x, y, y ′) = 0  таково, что его можно разрешить относи- тельно y ′ неоднозначно. Т.е. уравнение F(x, y, y ′) = 0  эквивалентно k различным уравнениям y ′ = f1(x,y) , y ′ = f2(x,y) , y ′ = f3(x,y) , … , y ′ = fk(x,y) . (15) Предположим, что для каждого из уравнений (15) найден общий интеграл: Φ1(x , y , C) = 0 , Φ2(x , y , C) = 0 , …., Φk(x , y , C) = 0 . (16) Совокупность общих интегралов (16) называется общим интегралом уравнения разрешаемого относительно y ′ не- однозначно.

§7. Линейные уравнения первого порядка Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется ДУ 1-го порядка, линейное относительно неизвестной функции y и ее производной y ′. ⇒ В общем случае линейное уравнение 1-го порядка можно записать в виде y ′ + p(x) ⋅ y = f(x) , (8) где p(x) ,  f(x) – заданные непрерывные функции. Если f(x) ≡ 0 , то линейное уравнение называется однородным. В противном случае уравнение называется неоднородным. Линейное однородное уравнение y ′ + p(x) ⋅ y = 0 является уравнением с разделяющимися переменными. Его общее решение: (9) Рассмотрим линейное неоднородное уравнение (8): y ′ + p(x) ⋅ y = f(x) . (8) Существуют два метода его интегрирования. I) Метод вариации постоянной (метод Лагранжа) 1) Интегрируем однородное уравнение y ′ + p(x) ⋅ y = 0, соот- ветствующее данному неоднородному уравнению. Его общее решение имеет вид (9): 2) Полагаем, что решение неоднородного уравнения по структуре совпадает с решением соответствующего линей- ного однородного уравнения. ⇒ Оно имеет вид Функцию C(x) найдем, подставив y и y ′ в исходное неод- нородное уравнение (8).

ГЛАВА I. Дифференциальные уравнения первого порядка §1. Основные понятия ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Обыкновенным дифференциальным уравне- нием называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные y ′(x) , y ′′(x) , … , y(n)(x) . ⇒ в общем случае ОДУ имеет вид F(x, y , y ′ , y ′′ , y ′′′ , … , y(n)) = 0 . Порядок старшей производной, входящей в ОДУ, называется порядком дифференциального уравнения. ПРИМЕР. Определить порядок уравнений: Замечание. Уравнение, связывающее неизвестную функцию n переменных, ее аргументы и ее частные производные, называется уравнением в частных производных. Функция y = ϕ(x) называется решением дифференциального уравнения на интервале (a;b), если при ее подстановке в это уравнение получается тождество, справедливое для всех x из интервала (a;b). ПРИМЕР. 1) y = cosx – решение ДУ y ′′ + y = 0 на (– ∞ , + ∞) ; 2) – решение ДУ в интервале (– 1 ; 1) . Уравнение Φ(x,y) = 0 , задающее в неявном виде решение диф- ференциального уравнения, называется интегралом диффе- ренциального уравнения. График решения (интеграла) дифференциального уравнения называется интегральной кривой.