Презентации по Математике

Приведенные примеры представляют собой одни из многочисленных вариантов статистических гипотез. Таким образом, статистической гипотезой называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений. Наряду с первоначально выдвинутой гипотезой рассматривают и противоречащую ей. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, ее место занимает противоречащая. Нулевой (основной) гипотезой называют первоначально выдвинутую гипотезу. Гипотезу, противоречащую нулевой, называют конкурирующей (альтернативной) гипотезой. Условно нулевую гипотезу обозначают H0, а альтернативную – H1. Приведу примеры обозначений статистических гипотез и варианты их прочтения: Н0: x =15 - основная гипотеза состоит в том, что среднее значение случайной величины Х статистически неразличимо с 15; Н1: x >15 - альтернативная гипотеза состоит в том, что среднее значение случайной величины Х статистическим различимо и больше 15. ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ: о равенстве показателей речи не идет. Корректно говорить «статистически неразличимо» или «статистически различимо» Когда выдвигается гипотеза, всегда существует вероятность, что она может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость ее проверки. Поскольку проверку производят статистическими методами, ее называют статистической проверкой.

Подобная теория появилась (имеется в виду статистика) в начале – середине XX века. Вслед за развитием аппарата статистического анализа, его положения стали применяться и в планировании эксперимента. Автором идеи привлечения статистики в планирование являлся один из основоположников английской школы статистики – Рональд Фишер. Именно он доказал целесообразность использования статистических методов в проблеме поиска оптимальных условий проведения эксперимента. Так появилась совершенно новая наука, имеющая важное практическое значение – «Планирование и организация эксперимента». Планирование эксперимента и его задачи. Виды экспериментов Так что же представляет собой планирование эксперимента? Для того чтобы представить себе этот процесс достаточно сказать, что мы с Вами ежедневно, ежечасно и даже ежеминутно занимаемся планированием эксперимента, и этот эксперимент называется жизнь. Давайте для примера представим себе одно наше утро. Просыпаясь утром и собираясь выйти из дома, мы вспоминаем уже заранее намеченные на этот день дела или же намечаем их в эту самую минуту. При этом каждый из нас, рассматривая список предполагаемых дел, сразу проводит корректировку, что он точно способен сделать, что вероятнее всего сделает, на что сил может не хватить, но на всякий случай запишем это в реестр сегодняшних дел и т.д. Таким образом, каждый из нас прикидывает условия существования в дне сегодняшнем, чтобы данный эксперимент (мы все по-прежнему имеем ввиду – жизнь) у нас удался.

Методы активного эксперимента занимают важное место в деятельности инженера. Их применение позволяет получать математические модели, описывающие свойства широкого класса объектов исследований. При этом не возникает необходимость в оценке процессов, протекающих внутри объекта. Получение математической модели обеспечивается четким выполнением алгоритма исследований и надежным определением значений функции отклика объекта. В этом случае задачей исследователя является реализация алгоритма активного эксперимента с помощью различных средств обработки данных. Выполнение этой задачи позволяет реализовать все этапы работы с математической моделью эксперимента Цель и задачи работы Целью работы является ознакомление студентов с использованием вычислительной техники для обработки экспериментальных данных, полученных в результате проведения активного эксперимента при исследовании технологических процессов. В ходе лабораторной работы студенты должны приобрести навыки использования вычислительной техники и специального программного обеспечения, а именно программных пакетов MathCad, Microsoft Excel, для обработки экспериментальных данных, полученных при проведении полного факторного эксперимента и при ортогональном планировании эксперимента. При выполнении работы студенты должны научиться работать с полученными математическими моделями.

Общие положения Объект исследования – это объект любого характера, который изучается экспериментальным путем. Эксперимент – это специальным образом спланированная и организованная процедура изучения некоторого объекта исследования, при которой на этот объект оказывают запланированные воздействия и регистрируют его реакции на эти воздействия. Экспериментальные данные – все исходные и выходные числовые данные эксперимента, сведенные в таблицу экспериментальных данных. Обработка экспериментальных данных – различные методы построения математической модели объекта по таблице экспериментальных данных. Основным «рабочим инструментом» эксперимента и обработки экспериментальных данных является численное значение факторов воздействия и откликов объекта исследования, т. е. число. Числа при экспериментировании получают тремя способами:  подсчетом;  измерением;  методом экспертных оценок. Предварительная обработка результатов измерений и наблюдений необходима для того, чтобы в дальнейшем, при построении эмпирических зависимостей, эффективно использовать статистические методы и корректно анализировать полученные результаты.

Сократить число опытов можно, воспользовавшись так называемым композиционным или последовательным планом, разработанным Боксом и Уилсоном. Так, при двух факторах модель функции отклика y = f(x1,x2) второго порядка представляет собой поверхность в виде цилиндра, конуса, эллипса и т.д., описываемую в общем виде уравнением Для определения такой поверхности необходимо располагать координатами не менее трех ее точек, т.е. факторы x1 и x2 должны варьироваться не менее чем на трех уровнях. Поэтому план эксперимента в плоскости факторов x1 и x2 на рис. а не может состоять лишь из опытов 1, 2, 3, 4 ПФЭ 22, располагающихся в вершинах квадрата, как это было для модели первого порядка. К ним должны быть добавлены опыты (звездные точки) 5, 6, 7, 8, расположенные на осях x1 и x2 с координатами (±α;0), (0;±α) и обязательно опыт 9 в центре квадрата, чтобы по любому направлению (5-9-6), (1-9-4) и т.д. располагалось три точки, определяющие кривизну поверхности в этом направлении. Планы второго порядка при k=2: а — ортогональный; б — ротатабельный

Такие процедуры и были разработаны усилиями многих математиков. Основные этапы становления планирования эксперимента: метод наименьших квадратов – (А.Лежандр, К.Гаусс, конец 18-начало 19 века); - основы регрессионного и корреляционного анализа (Ф. Гальтон, К.Пирсон, конец 19 - начало 20 века); - концепция малых выборок (Госсет, более известный под псевдонимом «Стьюдент», начало 20 века); - основы математического планирования эксперимента (Р.Фишер, середина 20 века); - разработка последовательной стратегии экспериментирования, шаговая стратегия экспериментирования (Бокс и Уилсон) Причем получается определенная сбалансированность между стремлением к минимизации числа опытов и уровнем точности и надежности полученных результатов. Хорошо спланированный эксперимент обеспечивает оптимальную обработку результатов, и, следовательно, возможность четких статистических выводов. Однако, в основе статистических методов обработки данных (дисперсионный и регрессионный анализ) лежат определенные предпосылки о свойствах законов распределения случайных величин, их независимости, однородности дисперсий и т.д., что в реальных задачах выполняется далеко не всегда. Совокупность таких предпосылок принято называть моделью ситуации. Возникает вопрос: зачем оптимально планировать эксперимент, если нет уверенности в том, выполняются ли предпосылки принятой модели ситуации?

2 3 4 5 6 7 8 9 9 • 2 9 • 7 9 • 4 9 • 9 9 • 6 9 • 8 9 • 3 9 • 5 Молодцы!

2 3 4 5 6 7 8 9 9 • 2 9 • 7 9 • 4 9 • 9 9 • 6 9 • 8 9 • 3 9 • 5 Молодцы!

Литература 1. Санитарная статистика. Авторы: А.М.Мерков; Л.Е. Поляков. Изд-во «Медицина».— Ленинград.— 1974 г. 2. Руководство по статистике здоровья и здравоохранения. Авторы: В.А.Медик, М.С. Токмачев. Изд-во «Медицина».— Москва. 2006 г. 3. Медицинская статистика в амбулаторно-поликлинических учреждениях промышленных предприятий. Авторы: В.Зайцев; Л. Аликбаева и др. Изд-во «Новый журнал».— СПб., 2009 г. Литература(продолжение) 4. Медицинская статистика понятным языком. Авторы: А. Банержи перевод с английского под редакции В.П. Леонова. изд-во «Практическая медицина».— Москва.— 2007 г. 5. Анализ медицинских данных государственного статистического наблюдения». Авторы: В.М.Дорофеев, И.А.Красильников и др. СПб., 2003 г. 6. Окружающая среда и здоровье / Под ред. проф. А.П. Щербо. Изд-во СПбМАПО, 2002 г.

Классическая вероятностная схема Для нахождения вероятности случайного события A при проведении некоторого числа опытов следует: Найти число N всех возможных исходов данного испытания; Найти количество N(A) тех исходов опыта, в которых наступает событие A; Найти частное N(A)/N; оно и будет равно вероятности события A. Классическое определение вероятности Вероятностью события A при проведении некоторого испытания называют отношение числа тех исходов, в результате которых наступает событие A, к общему числу всех (равновозможных между собой) исходов этого испытания.

Перестановкой называется множество из n элементов, записанных в определённом порядке.

В зависимости от определения единицы отбора различают выборку единицами и сериями (гнездами). В первом случае совпадают единица совокупности и единица отбора и применяемый метод называется простой случайной выборкой.

«Математика есть прообраз красоты мира». Иоганн Кеплер Пифагор 6 век до н.э. Архимед 287-212 гг. до н.э. Евклид 3 век до н.э.

Возникновение арифметики Математика в системе человеческих знаний есть раздел, занимающийся такими понятиями, как количество, структура, соотношение и т. п. Развитие математики началось с создания практических искусств счёта и измерения линий, поверхностей и объёмов. Понятие о натуральных числах формировалось постепенно и осложнялось неумением первобытного человека отделять числовую абстракцию от её конкретного представления. Вследствие этого счёт долгое время оставался только вещественным — использовались пальцы, камешки, пометки и т. п.

Система счисления – язык для наименования и записи чисел и выполнения действий над ними. Непозиционные системы счисления характеризуются тем, что каждый знак всегда обозначает одно и тоже число. Например, в римской системе счисления: I – один III – один да один, да один равно три IV, VIII, IX, XII, CXXI, MMXI

Определение операции умножения Если a,b-целые неотрицательные числа, то произведением называется число, удовлетворяющее следующим условиям: 1) 2) 3) b раз Умножение однозначных чисел можно выполнить , основываясь на определении При умножении многозначных чисел смысл умножения сохраняется, но меняется техника вычислений. При умножении многозначных чисел используют правило умножения многозначного числа на однозначное. (правило умножения суммы на число)

Основанием позиционной системы счисления может быть любое число p≥2. P=2 – двоичная система P=3 – троичная система P=8 – восьмеричная система Определение Записью натурального числа x в системе счисления с основанием p называется его представление в виде: где коэффициенты принимают значения 0,1,2,…,p-1 и ≠ 0

Замечание: Вопрос о существовании разности на множестве натуральных чисел решается очень просто: достаточно, чтобы уменьшаемое было больше вычитаемого. a-b существует, если a>b, где Для операции деления такого простого признака нет. Поэтому и возникла в математике теория делимости натуральных чисел.

Задача Найдите сумму остатков, получившихся при делении числа x= 5.143.628.457.913.427 на 2,3,4,5,9,25. 5квадриллионов 143 триллиона 628 миллиардов 457 миллионов 913 тысяч 427 Для решения этой задачи необходимо знать признаки делимости на 2, на 3, на 4, на 5, на 9, на 25

Признак делимости Паскаля Теорема: Натуральное число делится на натуральное число b тогда и только тогда, когда на b делится сумма остатки от деления на b разрядных единиц Доказательство: Разделим на b каждую из разрядных единиц числа x, получим:

Определение: Простым числом называется такое натуральное число, большее 1, которое имеет только два делителя – единицу и само это число. Например: Число 7 – простое. Число 2 – простое. (единственное простое четное число). Числа 3,11,19, 23, 113 ... являются простыми, так как эти числа имеют по два делителя. Число 1 ……?

Способы нахождения наибольшего общего делителя двух или нескольких натуральных чисел 1. Способ, основанный на каноническом представлении натурального числа. 2. Алгоритм Евклида.

Вычитание рациональных чисел Определение: разностью чисел a и b называется число c при условии: a-b=c тогда и только тогда, когда a=b+c. Разность положительных рациональных чисел существует тогда и только тогда, когда b

Теорема: для того , чтобы несократимая дробь была равна десятичной, необходимо и достаточно, чтобы в разложении ее знаменателя n на простые множители входили лишь числа 2 и 5. Заметим, что в данной теореме речь идет о конечной десятичной дроби. Рассмотрим два числа и