Презентации по Математике

Histogram of employee completion times Numerical data DR SUSANNE HANSEN SARAL, SUSANNE.SARAL@GMAIL.COM Numerical data Employee completion time Cumulative frequency DR SUSANNE HANSEN SARAL, SUSANNE.SARAL@GMAIL.COM

Using numerical measures to describe data «Is the data in the sample centered or located around a specific value?» First question that business people, economists, corporate executives, etc. ask when presented with sample data. Using numerical measures to describe data The histogram gives an idea whether the data is centered around a specific value. The histogram provides a visual picture of how the data is distributed (symmetric, skewed, etc.)

Numerical measures to describe data COPYRIGHT © 2013 PEARSON EDUCATION, INC. PUBLISHING AS PRENTICE HALL Ch. 2- Mean Median Mode Describing Data Numerically Variance Standard Deviation Coefficient of Variation Range Interquartile Range Central Tendency Variation Quartile Interquatile range, IQR Alternative way to calculate the IQR Khan Academy

Average distance to the mean: Standard deviation Most commonly used measure of variability Measures the standard (average) distance of all data points from the mean. 2/23/2017 Using Microsoft Excel Descriptive Statistics can be obtained from Microsoft® Excel Select: data / data analysis / descriptive statistics Enter details in dialog box COPYRIGHT © 2013 PEARSON EDUCATION, INC. PUBLISHING AS PRENTICE HALL Ch. 2-

Interpretation of summary statistics A random sample of people attended a recent soccer match. The summary statistics (Excel output) about their ages is here below: What is the sample size? What is the mean age? What is the median? What shape does the distribution of ages have? (symmetric or non-symmetric) What is the measure/s for spread in the data? Is this a large spread? What is the Coefficient of variation for this data? Deviations from the normal distribution - Kurtosis A distribution with positive kurtosis is pointy and a distribution with a negative kurtosis is flatter than a normal distribution DR SUSANNE HANSEN SARAL, SUSANNE.SARAL@GMAIL.COM

Where do probabilities come from? Two different ways to determine probabilities: 1. Objective approach: a. Relative frequency approach, derived from historical data b. Classical or logical approach based on logical observations, ex. Tossing a fair coin 2. Subjective approach, based on personal experience DR SUSANNE HANSEN SARAL Types of Probability Relative frequency approach Objective Approach: a) Relative frequency We calculate the relative frequency (percent) of the event: 2 – DR SUSANNE HANSEN SARAL

Interpreting probability No matter what method is used to assign probabilities, we interpret the probability, using the relative frequency approach for an infinite number of trails. The probability is only an estimate (Turkish: tahmin), because the relative frequency approach defines probability as the “long-run” relative frequency. The larger the number of observations the better the estimate will become. Ex.: Tossing a coin Head and tail will only occur 50 % in the long run Computer simulations DR SUSANNE HANSEN SARAL

Random Variables Represent possible numerical values from a random experiments. Which outcome will occur, is not known, therefore the word “random”. DR SUSANNE HANSEN SARAL Ch. 4- Random Variables Discrete Random Variable Continuous Random Variable Discrete random variable A discrete random variable is a possible outcome from a random experiment. It takes on countable values, integers. Examples of discrete random variables: Number of cars crossing the Bosphorus Bridge every day Number of journal subscriptions Number of visits on a given homepage per day We can calculate the exact probability of a discrete random variable:

  DR SUSANNE HANSEN SARAL   Cumulative Probability Function, F(x0) Practical application: Car dealer DR SUSANNE HANSEN SARAL The random variable, X, is the number of possible cars sold in a day:

Mid-term exam 23/03/2017 11:45 – 13:00 hours Bring: Calculator Pen Eraser Probability and cumulative probability distribution of a discrete random variable  

Сети Петри для моделирования

    Верига Калина Миколаївна Освіта - вища, Чернівецький державний університет ім. Ю. Федьковича. Спеціальність – математика. Кваліфікація – математика, викладач математики. Педагогічний стаж – 50 років, працюю у даній школі – 34 роки. Попередня атестація – 2012 р. Результат атестації :підтверджено кваліфікаційну категорію – спеціаліст вищої категорії, звання «старший вчитель».     Оцінка професійної діяльності

Фигуры вращения Цилиндр Конус Шар Тор Фигуры вращения Фигуры вращения — объёмные тела, возникающие при вращении плоской ограниченной фигуры вокруг оси, лежащей в той же плоскости.

Радианом называется величина центрального угла, который опирается на дугу окружности длиной в один радиус (обозначается 1 рад). 1 рад R R R A B O ⋅ ⋅ ⋅ ∪ AB=R ∠AOB=1 рад 600 1 рад Из скольких дуг, длиной R, состоит окружность? Подсказка: вспомните формулу длины окружности… R R R R R R ?

Углом называют часть плоскости, заключенную между двумя лучами, имеющими общее начало. Данные лучи называются сторонами угла, а их общее начало – вершиной угла. α α Если вершина угла расположена в центре окружности, то такой угол называется центральным. Часть окружности, которая находится внутри центрального угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу. Ещё говорят, что центральный угол α опирается на дугу, соответствующую и равную ему. 0 х 1 y 1 Окружность единичного радиуса с центром в начале координатной плоскости называется единичной (тригонометрической) окружностью, а круг, который она ограничивает – тригонометрическим кругом. Точка пересечения окружности с положительной осью абсцисс соответствует центральному углу поворота 00.

ФОРМЫ И ВИДЫ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН Рекомендации при использовании средних величин Совокупность, по которой производится обобщение, должна быть однородной Необходимо обеспечить исчерпывающий учет единиц совокупности При расчете средних необходимо учитывать своеобразие и взаимосвязь признаков и использовать их в совокупности с другими статистическими показателями Порядок расчета средних сохраняется независимо от уровня обобщения

В единичном кубе A…D1 найдите расстояние между прямыми AA1 и BC. Ответ: 1. Куб 1 В единичном кубе A…D1 найдите расстояние между прямыми AA1 и CD. Ответ: 1. Куб 2

* (c) Л.А.Устименко, ГОУ ФМЛ №366 V – скорость (мм/сек, см/мин, м/мин, км/час) V=S:t Таблица зависимости величин S V t : : ∙ S – расстояние (мм, см, дм, м, км) S=V∙t t – время (сек, мин, час) t=S:V ЗАПОМНИТЕ !!! Расстояние, скорость, время

x y 1 0 1 Пригадаємо, що будь-яка точка координатної площини має дві координати – абсцису і ординату: y – ордината точки M x – абсциса точки M M( x; y) (x ; y) – координати точки M sinα cosα α x 0 1 0 1 sinα – ордината точки повороту cosα – абсциса точки повороту Розглянемо одиничне тригонометричне коло і довільний гострий кут повороту α, який ми отримуємо в результаті повороту точки (1;0) навколо центра кола на кут α рад R = 1 y

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ Золотое сечение (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении) — деление непрерывной величины на две части в таком отношении, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине. АРХИТЕКТУРА Аполлон Бельведерский

Мнимая единица. Если i =-1, то число i будем называть мнимой единицей. Значит i = Степени мнимой единицы: i; i² = -1; i³ = i² · i = ( -1 )i = -i; i = i³ · i = -i · i = -i = -(-1) = 1; i = i · i = 1 · i = i. Алгебраическая форма . Числа вида а+bi, где а и b –действительные числа, i – мнимая единица, будем называть комплексными. Число а – действительная часть. Число bi – мнимая часть. Число b – коэффициент при мнимой части. Два комплексных числа a + bi и c + di равны, если a=c и b=d. Частные случаи:1) если а = 0, то bi – чисто мнимое число; 2) если b = 0, то а – действительное число; 3) если а = 0 и b = 0, то комплексное число = 0. Два комплексных числа называются сопряжёнными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.

Основные понятия Комплексным числом z называют выражение: где а и b – действительные числа, i – мнимая единица, определяемая равенством: а называется действительной частью числа z, b – мнимой частью. Их обозначают так: Если а = 0, то число i b называется чисто мнимым. Если b = 0, то получается действительное число а. Два комплексных числа, отличающиеся только знаком мнимой части, называются сопряженными: Геометрическое изображение комплексных чисел Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называют плоскостью комплексной переменной. A(a; b) a b Точкам, лежащим на оси OX, соответствуют действительные числа (b = 0), поэтому ось OX называют действительной осью. Точкам, лежащим на оси OY , соответствуют чисто мнимые числа (a = 0), поэтому ось OY называют мнимой осью.

Деление отрезка пополам Построение прямого угла Упражнение на построение «золотого прямоугольника»

Фракта́л (лат. fractus — подрібнений, дробовий) — нерегулярна, самоподібна структура. В широкому розумінні фрактал означає фігуру, малі частини якої в довільному збільшенні є подібними до неї самої. Термін фрактал увів 1975 року Бенуа Мандельброт. В 1975 році Мандельброт використав слово фрактал. Він проілюстрував своє математичне означення захоплюючими зображеннями, зробленими за допомогою комп'ютера. Ці зображення привернули велику увагу; багато з них базувалися на рекурсії, що призвело до появи поширеного розуміння слова фрактал.