Первый и второй замечательные пределы и способы их вычисления. (Семинар 6)
. Перейдя в этом неравенстве к пределу при и заметив, что в силу непрерывности функции cosx при х=0 имеет место равенство получим , что равносильно . Второй замечательный предел Рассмотрим выражение , где n – натуральное число. Задаем для n неограниченно возрастающие значения и вычисляем . Получим следующий результат Как видно из таблицы при увеличении n выражение изменяется все медленнее и стремится к некоторому пределу, приближенно равному 2,718. Теорема Последовательность стремится к конечному пределу, заключенному между 2 и 3. (Доказательство на основании разложения по биному Ньютона). Этот предел называется числом e. Итак , е=2,7182818284… Рассмотрим функцию , где . Можно доказать, что Другое выражение для числа е. Полагая , будем иметь При вычислении пределом полезно применять следующие формулы: ; ; . Данные формулы легко получаются из двух основных формул. Примеры с решениями 1.Найти Решение. Используя первый замечательный предел, имеем = = .
